Лекция 13. Устойчивость оценок

Исследуем задачу оценки параметра по измерениям.

Дано: - выборка измерений,

- неизвестная физическая величина,

- случайная ошибка измерения,

Относительно ошибок измерений здесь и далее в этой лекции будем полагать, что они взаимнонезависимы с нулевым математическим ожиданием дисперсией и плотностью вероятности

Необходимо найти оценку . В качестве метода нахождения оценки применим метод максимального правдоподобия, который зависит от вида функции

1. Пусть

Тогда

Условие максимизации дает оценку максимального правдоподобия

При этом, как было показано ранее, это эффективная оценка.

2. Рассмртрим равномерное распределение.

Пусть

Необходимо найти . При этом

Обозначим

Применяя метод максимального правдоподобия, получим

Максимизация (13.4) приводит к решению

где соответственно минимальное и максимальное измерение в выборке

Если измерения упорядочить в порядке возрастания их величины и ряд измерений обозначить то

Оценка - несмещенная (что следует из 11.32) и дисперсия ее равна

Говорить об эффективности оценки в этом случае не имеет смысла, так как неравенство Крамера-Рао этот случай (равномерно - распределенных ошибок измерений) не охватывает в силу зависимости пределов изменения от искомых параметров

3. Распределение Коши

При этом

В этом случае

и задача максимизации приводит к итерационной процедуре вычисления оценки максимального правдоподобия (см. пример 11.6 лекции 11).

4. Распределение Лапласа.

В этом случае

Дисперсия ошибки измерений связана с параметром следующим образом

Условие максимизации функции правдоподобия

приводит к решению

Другими словами, для получения необходимо отыскать минимум суммы модулей

Расположим все измерения в ряд в порядке возрастания их значений. Члены упорядоченного таким образом ряда обозначим При этом

Искомое значение доставляющее минимум может совпадать с некоторым значением или лежать в интервале как при или функция возрастает, то находиться в области или не может).

4.1. Пусть Тогда

Условие минимума дает

Из (13.13) следует

Поскольку к по условию целое число, то при нечетном

При четном искомая оценка не может совпадать с как это видно из (13.14).

4.2. Пусть - четно и

Тогда

Обобщая рассмотренные случаи, можно сказать, что решение (13.9) запишется в виде

5. Таким образом, в зависимости от предполагаемого вида плотности распределения случайных ошибок измерений мы получили разные оценки параметра методом максимального правдоподобия:

Каждая из этих оценок характеризуется своей дисперсией и все эти оценки, по крайней мере, асимптотически несмещенные (как оценки метода максимального правдоподобия).

Зададимся вопросом, как изменится дисперсия оценок, если мы при их получении предполагали одну плотность распределения ошибок, а на самом деле плотность иная (о чем мы, естественно, не знали).

В таблице 13.1 дано предельное отношение Е [5,8]

где

минимально достижимая дисперсия оценки метода максимального правдоподобия при том или ином распределении ошибок измерений (при больших

дисперсия оценки из рассмотренного ряда (13.17);

по-прежнему дисперсия ошибок измерений.

Таблица 13.1. Значение коэффициента Е

Здесь дополнительно дано треугольное распределение

Для него значение коэффициента эффективности Е дано относительно оценки (то есть принято, что ).

Из таблицы следует, что наиболее устойчивой оценкой является при рассмотренных разных законах распределения ошибок измерений коэффициент эффективности Е равен 0 только в одном случае - при равномерном распределении, в остальных случаях Менее всего устойчива оценка

В таблице 13.2 даны асимптотики дисперсий оценок

Таблица 13.2. Дисперсии оценок при больших

Данные таблицы 13.2 также подтверждают относительную устойчивость оценки

И, наконец, рассмотрим модель плотности вероятности ошибок измерений в виде

где

- плотность вероятности ошибок измерений при

- плотность распределения нормального закона;

- доля засорения (засорение - искажение нормального закона добавкой к нему функции

- засоряющий закон с

В таблице 13.3 даны значения предельного коэффициента Е (13.18) для двух оценок X и при разных видах засоряющей функции и разных значениях доли засорения

Таблица 13.3. Коэффициент Е

Таблица 13.3 иллюстрирует устойчивость оценок и в этом случае (13.19): для коэффициент при всех рассмотренных видах засорения, чего нельзя сказать о

Из всего вышеизложенного следует, что в практике обработки измерений необходимо уделять серьезное внимание получению устойчивых оценок.