Лекция 18. Задачи калибровки измерительных систем

Прежде чем приступить к измерениям, необходимо удостовериться, что прибор для измерений (измерительная система) имеет допустимые характеристики ошибок измерений.

В большинстве случаев ошибки измерений нормально работающих измерительных устройств случайны и распределены по закону, близкому к нормальному. Близость ограничивается тем фактом, что у реального прибора нет слишком больших ошибок измерений - такие ошибки не позволяет получить просто шкала прибора. Поэтому закон распределения ошибок измерений реальных приборов в большинстве случаев - это нормальный закон с «обрезанными хвостами»:

где

- ошибка,

- некоторое предельное значение.

Далее будем пренебрегать условием (18.1) и считать, что ошибки распределены по нормальному закону.

Задача проверки соответствия ошибок измерений того или иного измерительного прибора требуемым характеристикам, которые записываются в паспорте прибора (или в инструкции по эксплуатации), назовем задачей калибровки.

Задача калибровки распадается на два этапа.

Этап 1 - подготовительный. Производятся измерения эталона и формируется выборка ошибок измерений:

где

- измеренная величина эталона,

- истинное значение измеряемой величины.

Этап 2 - производится проверка соответствия (непротиворечивости) полученной выборки (18.2) ошибок измерений заданному закону распределения ошибок измерений При этом, в зависимости от известных значений или возможны различные задачи. Кроме того, возможны задачи по проверке эквивалентности в части характеристик ошибок двух измерительных приборов.

Рассмотрим некоторые из возможных задач.

Задача 18.1. Получена выборка Необходимо проверить, что арифметическое среднее вычисленное по не противоречит где - известные величины.

Решение. Вычислим по выборке

и сформируем величину

Если распределены по нормальному закону, то и значение распределено по нормальному закону Задавшись доверительной вероятностью (1-а), вычисляем предельное значение такое, что

Значения при разных величинах (1-а) даны в таблице 18.1 [10].

Таблица 18.1

Задавшись (1-а), находим из табл. 18.1 значение и проверяем неравенство

Если неравенство выполняется, то не противоречит закону Другими словами, если выборка (18.2) получена из то случайная величина распределена по а поэтому справедливо утверждение (18.5). Следовательно, выполнение неравенства (18.6) означает, что с вероятностью (1-а) полученная выборка и вычисленное по ней арифметическое среднее могут соответствовать закону Во всяком случае с вероятностью (1-а) нет оснований предполагать, что это не так.

Задача 18.2. Получена выборка Проверить, что среднее X не противоречит закону для элементов выборки при неизвестном значении

Решение. Вычислим X по (18.3) и сформируем величину

где

Величина имеет распределение, которое называется “распределение Стьюдента” и которое затабулировано. Для распределения Стьюдента Задавшись доверительной вероятностью из таблицы 18.2 находим значение в зависимости от - число степеней свободы) [10].

Таблица 18.2

Значение

Проверяем неравенство

Если неравенство выполняется, то не противоречит закону для элементов выборки (18.2).

Задача 18.3. Получена выборка Показать, что (суммирование от 1 до согласуется с где - неизвестно. Решение. Случайная величина

имеет известное распределение, которое называется распределением. Здесь число степеней свободы. Для этого распределения

Доверительная вероятность

Задавая можно из 2-х условий определить предельные значения (таблица 18.3).

Найдя из табл. 18.3 предельные значения проверяем неравенство

Если (18.11) выполнено, то согласуется с для элементов полученной выборки

Заметим, что если известно, то

По заданной вероятности находим и проверяем неравенство (18.11).

Таблица 18.3

Значения

Задача 18.4. Даны две выборки . По этим выборкам вычеслены

Здесь

Необходимо проверить одинаковы ли для средние значения (математические ожидания).

Решение. Вычисляем величину

Величина имеет распределение Стьюдента при

Поэтому, задавшись доверительной вероятностью (1-а), из табл. 18.2 находим при значение после чего проверяем неравенство (18.9) при вычисленном по (18.14). Если неравенство выполнено, то нет оснований утверждать, что выборки и относятся к распределениям с разными математическими ожиданиями.

Задача 18.5. Даны две выборки по которым вычислены, соответственно: Необходимо определить, имеют ли эти выборки одинаковые дисперсии.

Решение. Если выборки содержат элементы с одним и те же законом распределения то отношение подчиняется так называемому - распределению с параметрами Будем всегда выбирать в качестве большее значение, то есть

Тогда доверительная вероятность

Значения даны в табл. 18.4 при и в скобках - при .

Найдя проверяем неравенство

Если неравенство выполнено, то с вероятностью (1 - а) можно утверждать, что выборки имеют одни и те же дисперсии

Таблица 18.4

Заметим, что для случайной величины (напомним, что математическое ожидание и дисперсия соответственно равны

При этом предполагается, что обе выборки состоят из элементов, которые распределены по закону