Лекция 15. Проверка гипотез

Ранее рассматривалась задача определения неизвестного параметра по выборке измерений искаженных случайными ошибками либо с известной, либо неизвестной, но предполагаемой, плотностью вероятности. Задача решалась методом максимального правдоподобия или МНК.

Часто на практике помимо измерений априори известно и множество тех значений 6, которые могут быть решением задачи. Например, оптическая станция наблюдает за определенной частью пространства, в которой ожидается появление двух известных космических объектов Дополнительно известно, что скорость первого космического объекта равна а второго

Наблюдался космический объект. Проведена серия измерений скорости Необходимо определить, какой из двух наблюдался.

Очевидно, что задача может быть решена, например, методом МНК: по измерениям определяется неизвестная скорость 0, а затем она сравнивается каким-то образом с

Но применяя МНК к обработке выборки измерений мы не учитывали дополнительную информацию. Эта дополнительная информация заключалась в том, что по выборке измерений определяется параметр при дополнительном условии

Таким образом, в общем случае мы приходим к задаче (15.1):

Задача 15.1

(см. скан)

У нас две возможные гипотезы (предположения) относительно неизвестного значения:

нулевая гипотеза

альтернативная гипотеза

Такие гипотезы называются простыми в отличие от гипотез, не предусматривающих конкретное значение 0 [6,7,13].

Пусть означает множество всех возможных значений выборки объема

При этом, если - плотность вероятности выборки измерений, то

Предположим, мы умеем разбить область на две части - подобласти таким образом, что при выборка попадает в область а при в область Подобласть назовем критической областью.

Итак,

при справедлива

при справедлива

и задача сводится к выбору правила определения Если это правило известно, то для ответа на вопрос задачи необходимо проверить принадлежность полученной выборки измерений на принадлежность если то справедлива гипотеза . В противном случае справедлива гипотеза

Поскольку - случайный вектор, то возможны ошибки такого решения.

Пусть

- плотность вероятности выборки при

- плотность вероятности выборки при

Обозначим

и назовем а - ошибкой первого рода (выборка случайно попадает в критическую область при справедливости нулевой гипотезы), ошибкой

второго рода (выборка попадает в область , когда на самом деле верна

Правило выбора критической области или, по другому, критерий проверки нулевой гипотезы относительно альтернативной наиболее эффективно тогда, когда ошибки равны 0. Но сделать это невозможно (ибо при критическая область должно равняться 0, но при этом и наоборот). Поэтому необходимо искать компромисс между приемлемыми значениями Один из классических подходов заключается в том, что фиксируется значение а, критическая область выбирается из условия минимизации Заметим, что значение называется мощностью критерия. Поэтому минимум означает наибольшую мощность

Критерий Неймана-Пирсона

Критерий проверки нулевой гипотезы относительно альтернативной является наиболее мощным, если критическую область с выбрать следующим образом

Другими словами, если

то принимается за истинную гипотеза При этом значение С определяется из условия (15.9). Такое правило обеспечивает минимум ошибки при заданном значении а.

Для доказательства того, что (15.9), (15.10) обеспечивают минимум положим, что есть еще одна критическая область с выполнением (15.9)

Тогда

Области в общем случае могут пересекаться. Обозначим их пересечения через а непересекающиеся части соответственно через

Тогда

Но из (15.10) следует (А входит в )

С другой стороны, В лежит вне и поэтому

Запишем выражение для мощности:

Используя (15.13), (15.14) и (15.15) запишем

Объединяя (15.16) и (15.17), получим

Следовательно, мощность для области задаваемой (15.9), (15.10), не меньше мощности для любой другой области которая может быть выбрана любым способом, но, естественно, с соблюдением (15.9).

Пример 15.1. Дано: - выборка измерений, где - ошибки измерений, взаимонезависимы, плотность вероятности ошибок измерений,

Необходимо определить .

Решение.

Суммирование от 1 до

Отношение правдоподобия

Условие (15.10)

приводит к неравенству

Две возможности упрощения неравенства (15.19)

Будем считать, что при постановке задачи мы всегда обозначаем через большее из значений Таким образом, проверка принадлежности выборки критической области свелась к вычислению арифмитического среднего и сравнению X с порогом (как условились Постоянную необходимо выбрать из условия (15.9):

или

Решая (15.20), находим (напомним, что заданы по условиям задачи).

Таким образом, найдя проверяем

Если (15.21) выполнено, то . В том случае, когда принимаем При таком правиле гарантируется, что ошибка первого рода равна заданной а, а ошибка второго рода минимальна.