Лекция 9. Оценки и их свойства

1. Рассмотрим измерения некоторой физической величины 0 или группы физических величин

Уравнение измерения

где

X - результат измерения,

0 - измеряемая неизвестная физическая величина (0 может быть вектором),

4 - ошибка измерения.

Ошибка измерения 4 - случайная величина, которую полностью характеризует плотность распределения .

Измерение X - тоже случайная величина (как сумма постоянной 0 и случайной величины ), имеющая по (6.1) плотность

Если проведен ряд измерений неизвестной величины 0, то в результате имеем выборку измерений

где каждое измерение - случайная величина с плотностью

В том случае, когда ошибки разных измерений в выборке (9.3) имеют одни и те же свойства (например, все измерения проведены в примерно одних и тех же условиях на одних и тех же приборах), то они являются значениями случайной величины X с плотностью

2. На основе вышеизложенного, отвлекаясь от физической природы эксперимента, будем в дальнейшем рассматривать следующую абстрактную задачу.

Дана выборка измерений случайной величины X

Плотность вероятности каждого измерения известна с точностью до параметра

(напомним, что может быть как скаляром, так и вектором).

Необходимо по (9.4), (9.5) найти .

Назовем значение , полученное в результате решения задачи (9.4), (9.5), оценкой и обозначим через Оценка - это прежде всего некоторая функция выборки измерений [5,6,7,8]

Способ получения 0 назовем задачей оценивания.

3. Прежде, чем говорить о методе решения задачи (9.4), (9.5), выясним, какие свойства желательны для сценки.

В общем виде оценка - это любая функция измерений. Построим, к примеру, по выборке (9.4) несколько произвольных оценок.

где - случайная ошибка измерения с математическим ожиданием и дисперсией

Заметим, что опираясь на определение оценки только как функции выборки, можно иметь бесконечное множество оценок.

Продолжая рассматривать примеры (9.7),...(9.10), попробуем выяснить предпочтительность каждой из этих оценок.

4. Во-первых, желательно, чтобы выбранная нами оценка при увеличении объема выборки как можно “ближе" приближалась к искомому параметру Такое свойство оценки называется состоятельностью и формулируется следующим образом.

Оценка называется состоятельной, если для любых положительных начиная с некоторого выполняется неравенство

или, что тоже самое.

Здесь - вероятность выполнения - оценка неизвестного - истинное значение параметра.

Свойство состоятельности означает, по-существу, что если мы затрачиваем усилия и средства на проведение новых измерений, то в результате хотелось бы иметь более точное значение неизвестного параметра.

5. Во-вторых, крайне желательно, чтобы в среднем при любом оценка совпадала с неизвестным параметром

(при любом объеме выборки

Свойство (9.13) называется несмещенностью оценки.

Несмещенность означает, что, если на практике можно было бы неограниченное число раз получать все новые и новые выборки измерений и по каждой выборке вычислять оценку то математическое ожидание должно совпадать с как функция случайных величин сама является случайной величиной, для которой можно вычислить математическое ожидание и дисперсию).

6. Покажем, что несмещенная оценка состоятельна, если ее дисперсия стремится к нулю при возрастании

Пусть дана некоторая функция случайной величины X. Тогда

Из (9.14) вытекает

для любой положительной функции и любого

Выберем в качестве оценку Тогда в силу предполагаемой несмещенности и можно записать на основе (9.15)

Из (9.16) следует, что, если при то для любого сколь угодно малого найдется номер начиная с которого

Итак, несмещенная оценка состоятельна, если дисперсия оценки стремится к нулю при возрастании

7. Два введенных свойства несмещенности и состоятельности уже позволяют выделить из ряда оценки с привлекательными свойствами.

Действительно, вычислим математические ожидания и дисперсии оценок

В результате получим:

Анализируя полученные результаты видим, что

- оценка несмещенная, но несостоятельная ( не стремится к нулю),

- оценка смещенная, но состоятельная,

- оценка несмещенная и состоятельная,

- оценка тоже несмещенная и состоятельная.

Таким образом, желательным свойствам несмещенности и состоятельности удовлетворяют только две оценки из рассмотренных

Из двух оставшихся оценок нам более подходит оценка 0 4, так как у нее при прочих рааных условиях меньшая дисперсия.

Возникает вопрос, а существует ли какая-либо несмещенная оценка по аыборке (9.4) объема с еще меньшей дисперсией?