Лекция 20. Линейные фильтры с дискретным временем

1. В практике работы систем наблюдения за движущимися объектами возникает задача определения параметров движения по выборке измерений

где - момент измерения, - измеренная координата в момент

Модель движения будем рассматривать в простейшем виде

Здесь - неизвестные параметры движения, которые необходимо определить, - текущее время, - момент времени привязки параметров.

Относительно ошибок измерений будем предполагать, что они аддитивны: характеризуются нулевым математическим ожиданием и дисперсией

Таким образом, рассматривается следующая задача.

Задача 20.1. Дано:

- выборка измерений,

- модель движения,

- модель измерений,

По этим данным необходимо определить в момент Относительно заметим, что это может быть любой момент времени, выбираемый нами из условия удобства и возможного упрощения вычислений.

Зная в момент можно легко получить значения в любой другой момент времени

Решение задачи 20.1. Выберем

где суммирование от 1 до Оценки параметров находим, исходя из метода наименьших квадратов:

Условие минимума дает

Учитывая (20.4), из (20.6) немедленно получаем

Уравнение (20.7) дает или (суммирование от 1 до )

Прямая называется регрессией на вычисленной по методу наименьших квадратов. Если тоже случайная величина, то регрессия на дается выражением где вычисляются по (20.8), (20.9) с заменой в этих формулах на на

Для окончательного решения задачи необходимо вычислить характеристики ошибок найденных оценок. Обозначим ошибки Тогда из (20.8), (20.9) вытекает [14]:

Отсюда

(корреляция ошибок ).

Таким образом, (20.8), (20.9),...(20.14) есть решение задачи 20.1 при Все другие решения могут быть получены на этой основе. Приведем некоторые из них.

В том случае, когда измерения проводятся через равные промежутки времени формулы для дисперсий и корреляции упрощаются:

где - интервал наблюдений.

Если при этом выбираем (момент времени, соответствующий последнему измерению), по (20.3) легко получить [14]:

где

- оценка параметров на момент времени

- оценка на момент вычисленная по (20.8), (20.9),

- момент времени, рассчитанный по (20.4).

На любой момент времени оценки также легко получить по (20.3):

где - момент первого измерения.

2. Рассмотрим более общую задачу.

Задача 20.2. Дано:

- выборка измерений,

- движения,

, - модель измерений,

По этим данным необходимо найти значения и т.д. в произвольный момент времени (например, - момент времени, соответствующий последнему измерению).

Решение задачи 20.2. Сведем эту задачу к ранее рассмотренной в лекции 12. Для этого обозначим

(см. скан)

Заметим, что где есть регрессия на в виде полинома, коэффициенты которого вычислены по МНК.

Приведем приближенные (асимптотические) формулы для точности оценок в случае параболической модели движения в задаче 20.2 при задаваемом по (20.4), и

Напомним, что - количество измерений, - дисперсия ошибки единичного измерения, - интервал измерений, ковариация между

Надо сказать, что формулы для дисперсий и ковариаций (20.15), (20.16), (20.17), (20.30),...,(20.34) хорошо работают при больших . В силу относительной простоты, их можно использовать для прикидочных инженерных расчетов.

Точные формулы для дисперсий и ковариаций в общем случае следуют из (20.29). Для случая точные формулы для дисперсий и ковариаций имеют следующий вид.

Здесь и ниже суммирование от 1 до Для этого случая (линейной зависимости):

где - момент измерения

Тогда

где

Пример 20.1. Пусть . Проведено измерений в моменты времени . Дисперсия ошибок измерений

Вычислим и зависимость перепишем в виде Здесь Тогда точность оценки по пяти измерениям равняется

По асимптотическим формулам (20.15), (20.16), (20.17) имеем:

Сравнение результатов расчета по точным формулам и асимптотическим показывает, что совпадают, а отличается в 1.5 раза.

Пример 20.2. Пусть теперь Проведено измерений а моменты при

Обозначим и перепишем исходную зависимость в виде Тогда

По асимптотическим формулам (20.30),...,(20.34) получим:

Сравнение показывает, что, например, значение дисперсии ускорения по точным и асимптотическим формулам отличается в 1.9 раза. Это особенно скажется при вычислении экстраполированного значения.

Например, пусть необходимо найти при Тогда что дает по точным формулам, по асимптотическим формулам.

Формулы (20.30), (20.31), ... (20.34) в совокупности при больших дают элементы ковариационной матрицы К ошибок оценок МНК параметров движения при

В том случае, когда имеем:

При этом

3. Рассмотренные способы определения параметров движения и формулы для оценки точности позволяют проектировать и рассчитывать те или иные системы наблюдения и измерения. Однако, в ряде задач использование непосредственно соотношений типа (20.28), (20.29) затруднительно а силу двух обстоятельств. Во-первых, до момента получения последнего измерения параметры движения не известны, что не позволяет решать на интервале времени задачи прогнозироаания движения наблюдаемого объекта. А это бывает на практике необходимо. Во-вторых, неравномерно используется вычислительная мощность компьютерной системы: до момента она фактически простаивает, а затем пик вычислений. Если наблюдаемых объектов много, то это может приводить к серьезным задержкам получения оценок (после . И наконец, накопление всех измерений повышает требования к объему памяти вычислительной системы.

В связи с этими особенностями практического использования соотношений (20.28), (20.29) были разработаны более приемлемые вычислительные схемы получения оценок МНК.

Рассмотрим задачу 20.3.

Задача 20.3. Дано: модель движения - линейная,

- оценка параметров МНК на момент времени по измерениям в моменты времени

- весовые коэффициенты, характеризующие точность оценок параметров на момент времени их смысл будет ясен из дальнейшего,

- новое измерение в момент времени

- вес измерения где - дисперсия к измерения. Необходимо по этим данным найти оценки МНК в момент времени с использованием только последнего измерения и оценок

Решение задачи 20.3. Идея решения такой задачи достаточно проста. Необходимо записать уравнения МНК для нахождения минимизацией и аналогичные уравнения для из

Получим две системы линейных уравнений, решение которых позволит выразить через

Здесь [14]

При этом характеристики точности оценок даются формулами:

Итак, после обработки очередного измерения мы имеем и ожидаем получение следующего измерения

Приведенная схема вычисления оценок МНК обладает рядом достоинств, среди которых:

1) в памяти компьютера всегда хранится лишь результат обработки последнего измерения шесть чисел;

2) в каждый момент времени выполняется фиксированный объем вычислений по (20.39), (20.40),...,(20.48);

3) в каждый момент времени мы имеем оценку параметров движения

4) естественно, что после обработки последнего измерения по (20.39), (20.40) оценка полностью совпадает с оценкой, которая может быть получена непосредственной минимизацией функционала МНК

При этом, естественно, и оценки точности (20.20), (20.21), (20.22) и (20.49), (20.50), (20.51) также совпадают (при )

Формулы (20.39), (20.40) носят название линейного фильтра. Очевидно, что для начала работы фильтра необходимо задать начальное приближение. Оно формируется после получения первого измерения:

Далее для обработки последующих измерений работают формулы (20.39), (20.40),...(20.48).

Пример 20.3. Пусть имеется два измерения Необходимо найти оценку параметров и оценку точности

1. Применим МНК непосредственно:

Отсюда

Решая полученную линейную системы относительно получим

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)