Лекция 8. Центральная предельная теорема

1. Центральная предельная теорема - это группа теорем, определяющих условия, когда возникает нормальное распределение [3,4,5].

1.1. Теорема 1

Если независимые случайные величины, имеющие одно и тоже распределение с то при увеличении закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному.

Понятие характеристической функции.

Рассмотрим комплексную случайную величину где X - случайная величина, дейстгителс плотность распределения которой известна, - параметр,

Характеристическая функция

Характеристическая функция безразмерна, имеет размерность, обратную размерности X.

Отсюда так как характеристическая функция - это преобразование Фурье от

Свойства характеристической функции.

где - начальный момент порядка

3. Если - независимы, то

Пример 8.1. Если

Пример 8.2. Случайная величина X имеет биномиальный закон распределения Тогда

Пример 8.3. Случайная величина X имеет равномерный закон распределения Тогда

Пример 8.4. Нормальный закон

Тогда

Вернемся к центральной предельной теореме.

Разложим характеристическую функцию в ряд Маклорена:

где

Легко видеть из (8.1) и (8.2), что

Введем

Тогда, на основании Отсюда выражение (8.4) можно представить в виде

где

Следовательно,

Отсюда (при )

Следовательно, в пределе распределена по нормальному закону.

Случайная величина также распределена по нормальному закону,

Если случайная величина X имеет математическое ожидание и дисперсию

Следовательно, при

Пример 8.5. Монета подбрасывается раз. Рассмотрим случайную величину X - число выпавших гербов. Определить интервал возможных значений симметричный относительно математического ожидания, внутри которого X находится с вероятностью

Дано

Следовательно:

Отсюда, или