Лекция 22. Фильтр Калмана

1. Рассмотренный -фильтр обладает двумя недостатками. Во-первых, его формулы не являются унифицированными с точки зрения обобщения на многие параметры, например, для оценки в двумерном пространстве. Во-вторых, формулы на охватывают случай, когда измерение в момент — вектор, причем ошибки компонент такого вектора могут быть коррелированы.

Обобщение теории -фильтра на случай многих оцениваемых параметров и многомерности измерений дает теория фильтра Калмана [11].

1.1. Основные обозначения:

- соответственно, момент времени вектор оценки параметров и ковариационная матрица ошибок оценок после обработки к измерений;

- момент времени очередного измерения, вектор измеренных величин, ковариационная матрица ошибок измерений.

1.2. Модель движения

где

- вектор параметров, экстраполированный с момента времени на момент времени

- матрица

1.3. Модель измерений

где

- матрица

- вектор истинных параметров в момент времени

- вектор случайных ошибок, распределенных по нормальному закону с нулевым средним и ковариационной матрицей

Формулы для вычисления оценок фильтрацией Калмана могут быть получены следующим образом.

Вначале оценки и ковариационную матрицу после обработки первых к измерений экстраполируем по (22.1) на момент времени очередного измерения

После экстраполяции мы имеем два вида информации о параметрах движения на момент времени

Далее, предполагая нормальный закон распределения ошибок в можно записать функцию правдоподобия

Здесь считаем, что

Записав уравнение правдоподобия

где

и решив (22.4) относительно получим

Из (22.5) непосредственно следует

И наконец, воспользовавшись двумя замечательными равенствами

для преобразования (22.6), мы можем записать решение (22.5), (22.6) в более удобном виде

где - единичная матрица

Формулы (22.7), (22.8), (22.9) называются фильтром Калмана. Это рекуррентные соотношения. Для начала работы по ним надо задать начальное приближение, которое, например, вычисляется по первым двум измерениям.

Пример 22.1. Пусть измеряется координата движущегося объекта: - измерение в момент времени - оценка на момент времени Уравнение движения - линейное (20.1).

Начальное приближение

Обозначения:

В этих обозначениях

Легко проверить, что в этом случае формулы Калмана переходят в рассмотренный ранее -фильтр.

2. По аналогии с -фильтром с постоянными коэффициентами, можно скорректировать фильтр Калмана на случай движения, отличного от линейного. Для этого экстраполяция параметров происходит по (22.10), а экстраполяция матрицы производится по формуле

где

- значение максимального по модулю ускорения на интервале обработки.

3. Отметим, что формулы (22.7), (22.8), (22.9) универсальны: они охватывают как случай оценки параметров движения различной сложности, так и разного состава измерения. Например, если движение параболическое

то для описания этого случая достаточно положить

и формулы фильтра Калмана будут давать оценку трех параметров

4. Рассмотрим возможность обобщения фильтра Калмана на нелинейный случай

где - некоторые векторные нелинейные функции аргументов (Ф - вектор - вектор ).

Введем обозначения:

В этих обозначениях фильтр Калмана имеет вид

где вычисляются, соответственно, по (22.14), (22.15).

Эти формулы отражают тот факт, что при экстраполяции параметров используется точная модель движения (22.12), точная зависимость измерений от параметров (22.13), тогда как для экстраполяции характеристик ошибок используются линеаризованные соотношения.