Лекция 6. Закон распределения функций случайных аргументов

1. Пусть [3,4,5]:

X - случайная величина,

- ее плотность распределения,

- другая случайная величина, функционально связанная с X,

- монотонная, непрерывная и дифференцируемая однозначная функция,

- решение уравнения

- плотность распределения

Тогда:

Отметим, что далее мы будем обозначать плотность распределения случайной величины У через а функцию распределения У через

Пример 6.1. Дано:

Тогда:

Пример 6.2. Дано;

Тогда:

Пример 6.3. Дано:

Тогда:

2. Пусть задано: Если не является монотонной функцией, то неоднозначна.

Рис. 6.1

Суммирование по всем интервалам неоднозначности.

Пример 6.4. Пусть дано:

Тогда:

Пример 6.5. Дано:

Тогда:

3. Пусть - случайные величины, - плотность системы - функция распределения Тогда:

Пример 6.6. Дано:

Тогда: Из условия следует: если то если то Область заштрихована на рис. 6.2. Следовательно

Рис. 6.2

Пример 6.7. Пусть заданы случайные величины с плотностью

Тогда:

При этом:

Рис. 6.3

Пример 6.8. Дано:

Тогда:

Рис. 6.4

Пример 6.9. Дано: независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение с Тогда:

Пример 6.10. Пусть равномерно распределены в круге радиуса

Тогда:

Рис. 6.5

Пример 6.11. Пусть заданы случайные величины с плотностью

Тогда:

Рис. 6.6

Если - независимы, то (так называемая композиция законов распределения):

Пример 6.12. Дано: Тогда система имеет распределение Отсюда