Лекция 2. Случайная величина и ее характеристики

1. Случайная величина - это функция, заданная на множестве (пространстве) исходов: каждому исходу эксперимента (опыта) поставлено по какому-то правилу в соответствие единственное число которое называется случайной величиной X. При этом X - случайная величина, - значения, которые она принимает.

Со случайными величинами, рассматриваемыми в одном и том же опыте, обращаются как с обычными числовыми функциями: их можно складывать, вычитать, умножать и т.д.

Возможные значения случайной величины образуют множество которое будем называть множеством значений случайной величины. может быть дискретным или непрерывным.

2. Закон распределения случайной величины - это любое правило, позволяющее находить вероятности тех иных значений случайной величины.

Для дискретных случайных величин закон распределения удобно задавать таблицей:

При этом, естественно, (суммирование по всем значениям ).

Функция распределения как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, задается формулой

где X - случайная величина;

- конкретное значение случайной величины;

- вероятность того, что в эксперименте случайная величина примет значение меньше

Свойства функции распределения:

Если функция непрерывна, то если разрывна, то вероятность равна величине скачка в точке

2.6. Плотность распределения (плотность вероятности, плотность):

Мы ограничиваемся здесь и далее рассмотрением дифференцируемых функций распределения

График - кривая распределения. При этом

3. Пусть условная вероятность события А при условии, что случайная величина X приняла в опыте значение Тогда вероятность события А

Условная плотность апостериорной вероятности

4. Закон распределения для дискретных случайных величин, функция распределения или плотность для непрерывных - это исчерпывающие характеристики случайных величин.

На их основе можно получить другие числовые характеристики.

4.1. Математическое ожидание

для, соответственно, дискретных и непрерывных случайных величин.

Пример для случайной величины X:

Рис. 2.1

Пример 2.2.

4.2. Медиана определяется из условия:

Пример 2.3. Если то определяется из уравнения Отсюда

4.3. Мода - наиболее вероятное значение X.

Пример 2.4 Максимальное значение достигается при следовательно,

4.4. Начальный момент порядка определяется как

для непрерывных случайных величин.

Для дискретных случайных величин

где суммирование ведется по всем значениям случайной величины Центральный момент порядка определяется как

или

Для любой случайное величины

4.5. Центральный момент порядка называется дисперсией и обозначается или

Дисперсия случайной величины

Свойства дисперсии:

Пример 2.5. тогда

4.6. Коэффициент корреляции двух случайных величин X и Y определяется как

Если случайные величины X и Y независимы, то следовательно

Пределы изменения коэффициента корреляции: