Лекция 21. Линейный фильтр с постоянными коэффициентами

1. Рассмотренный в предыдущей лекции -фильтр дает решение задачи МНК при линейной модели движения

Возникает вопрос, какие результаты будет дааать -фильтр, если его применить к модели движения более сложной

Будем считать, что у нас имеется выборка измерений

Измерения равноточные:

Предположим, что для обработки выборки мы применяем фильтр. Поскольку модель движения (21.2) теперь отлична от линейной (21.1), то получаемые оценки параметров, помимо ошибок с характеристиками (20.49), (20.50), (20.51), будут содержать также и методические ошибки из-за отличия (21.2) от (21.1). Расчеты показывают, что методические ошибки приближенно равны

где

- соответствующие методические ошибки, - длительность интервала измерений.

Учитывая указанные методические ошибки, дисперсии оценок параметров могут быть записаны в виде

При этом .

Рис. 21.1. Модель движения фильтра - линейная,истинное движение - нелинейное.

На рис. 21.1 дана зависимость (качественная) от Т. Как видно, дисперсия (сплошная линия) вначале убывает с увеличением количества обработанных измерений а затем неограниченно возрастает. Минимум достигает при некотором значении То, которое можно определить из условия

из которого вытекает решение (21.7)

Аналогичная картина наблюдается и в отношении эта дисперсия вначале также убывает с ростом количества обработанных измерений, а затем неограниченно возрастает. Существует также оптимальный интервал То, при обработке которого минимально:

Таким образом, если есть подозрение, что модель истинного движения отлична от линейной (21.1), то стратегия обработки измерений должна быть такой:

1. До некоторого значения обработка идет согласно -фильтру (20.39),(20.40)

2. Начиная с и далее при весовые коэффициенты остаются постоянными и равными значениям при обработке измерения, где или в момент времени что . Здесь оценивается по (21.8) или (21.9) с учетом возможного максимального ускорения на интервале обработки.

Такой метод обработки назовем -фильтром с постоянными коэффициентами.

Для него точность оценок параметров при обработке измерений на начальном интераале определяется формулами (21.5), (21.6). Значение определяется из условия а дается (21.8).

Далее, начиная с момента работает -фильтр с постоянными

коэффициентами и для него [14]

Здесь

- весовые коэффициенты -фильтра в момент времени

- значение максимального по модулю ускорения на интервале обработки,

где - дисперсия ошибки измерения (последнего перед “замораживанием” коэффициентов )

- средний интервал между измерениями.

На рис. 21.1 пунктиром показана дисперсия оценки при применении -фильтра с постоянными коэффициентами. График для -фильтра с постоянными коэффициентами очевиден:

- на начальном участке обработки при точность оценок для -фильтра и -фильтра с постоянными коэффициентами совпадает;

- при обработке последующих измерений при дисперсия оценок для -фильтра возрастает, а для -фильтра с постоянными коэффициентами остается на одном и том же уровне.

2. При организации в измерительных системах слежения за движущимися объектами возникает проблема вычисления экстраполированного значения с заданной точностью. Например, радиолокационная станция (РЛС) ведет наблюдение и измерение координат искусственного спутника земли (ИСЗ). Предположим, получен ряд измерений и по ним вычислены оценки параметров движения ИСЗ в виде Для того, чтобы получить следующие измерения в новый момент времени необходимо рассчитать упрежденные координаты ИСЗ в этот момент времени и по значения выставить диаграмму направленности РЛС. Если значения достаточно точно соответствуют положению ИСЗ в момент то ИСЗ пройдет через диаграмму РЛС в этот момент времени и будет осуществлено следующее измерение которое уточнит параметры движения ИСЗ, по уточненным параметрам будет вычислено новое значение в момент времени и т.д.

Таким образом, для успешной работы следящей измерительной системы необходимо, чтобы возможные ошибки вычисления на каждом шаге не преаосходили некоторой предельной величины А:

Здесь левая часть неравенства означает оценку максимальной ошибки по правилу “За”, что означает, например, для нормального распределения максимальную ошибку с вероятностью 0.997. Величина - это предельное значение ошибки целеуказания при котором следящая система еще может провести измерения (например, для РЛС это половина ширины диаграммы направленности или половина ширины строба по дальности). Кроме того, поскольку каждое измерение связано с энергетическими затратами, то в некоторых задачах желательно получать следующее измерение при максимальном удалении по аремени от предыдущего

Например, в задачах, когда необходимо проследить каждый ИСЗ в зоне действия РЛС от входа в нее до выхода при большом потоке ИСЗ в условиях ограниченных энергетических возможностей

Итак, возникает проблема построения такого фильтра для обработки измерений, который обеспечил бы, начиная с некоторого шага выполнение условий (21.13), (21.14). Естественно, что в самом начале наблюдения трудно рассчитыаать на удовлетворение, скажем, требоаания (21.14), так как на начальных шагах необходимо достаточно часто проводить измерения для выполнения (21.13).

Итак, поставим задачу следующим образом.

Пусть имеются оценки , где - ковариационная матрица ошибок оценок

Получено новое измерение

Для получения новых оценок проведем экстраполяцию

Далее будем искать новые оценки в виде линейной комбинации

где - неизвестные весовые коэффициенты. Выбор проведем таким образом, чтобы минимизировать Условие минимизации дает

Здесь

- оценка возможного ускорения на интервале наблюдения (поскольку ускорение точно не известно, то оно рассматривается как случайная величина, независимая от

Дисперсия оценки дается формулой

Считая, что начиная с некоторого происходит стабилизация весовых коэффициентов а также характеристик точности приходим к следующему алгоритму, который назовем

1. Входная информация алгоритма.

Здесь

- результаты обработки первых к измерений,

- новое измерение,

- оценки параметров движения на момент времени

- максимальная допустимая ошибка значения

- априорное значение максимального по модулю ускорения на предполагаемом интервале обработки измерений,

- предельные допустимые значения для .

- параметры фильтра (рассчитываются при поступлении первого измерения),

- текущий интервал экстраполяции,

- параметр фильтра,

- ковариационная матрица характеризующая случайные ошибки в оценке вектора параметров движения

- вектор характеризующий методические ошибки а оценках параметров движения

Матрица К, размером характеризует случайные ошибки оценок параметров при обработке первых к измерений. Далее, при эта матрица играет роль параметра -фильтра, а ошибки в характеризуют матрица - случайную составляющую и вектор - методические ошибки.

Значение соответствует тому значению к, начиная с которого выполняется неравенство

где - весовой коэффициент, - его предельное значение. Смысл

неравенства в том, что когда весовой коэффициент при возрастании количества к обработанных измерений приблизится к предельному стабильному значению (относительное отклонение меньше 5%), характеристики случайных и методических ошибок необходимо вычислять по специальным формулам, соответствующим режиму стабилизации фильтра.

Перед началом работы алгоритма (перед получением измерения) все величины исходной информации и равны нулю, кроме

2. Последовательность вычислений.

Шаг 1. Проверяется номер измерений Если это первое измерение, то есть то выполняется шаг 2. Если то - шаг 3.

Шаг 2. Формируем параметры

(см. скан)

Шаг 8. Рассчитываются новые оценки параметров движения:

которые засылаются в на соответствующие места.

Шаг 9. Вычисляются элементы ковариационной матрицы случайных ошибок:

которые засылаются на соответствующие места в

Далее проверяется неравенство Если неравенство выполняется, то

Если неравенство не выполняется, то вычисляются элементы вектора и ковариационной матрицы

где

Здесь - вычислены на шаге - входная информация, Вычисленные значения засылаются в на соответствующие места.

Далее вычисляется значение в момент которое используется в качестве целеуказания для получения следующего измерения При этом точность экстраполированного значения характеризуется методической ошибкой и среднеквадратическим значением случайной ошибки такими, что выполняются неравенства

При этом, конечно, предполагается, что дисперсия ошибок измерений примерно одинаковая: