Лекция 7. Законы больших чисел

1. Закон больших чисел: при очень большом числе случайных явлений средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

В узком смысле под законом больших чисел понимается ряд математических теорем [3,4,5,6].

1.1. Неравенство Чебышева.

Для любой случайной величины X, имеющей и справедливо неравенство

где а - любое положительное число.

Доказательство.

Отсюда следует (7.1).

Аналогично доказательство и для дискретных случайных чисел.

Следствие. При

Неравенства (7.1) и (7.2) достаточно приближенные. Например, для нормального закона:

При имеем: Следовательно, для нормального распределения вместо по (7.2).

1.2. 1-я теорема Чебышева.

Пусть имеется Пусть производится независимых экспериментов, в результате которых получен ряд значений Пусть

Тогда, для любых сколь угодно малых найдется значение такое, что

Доказательство.

Действительно, Из (7.1) следует Определим из условия Тогда при выполняется неравенство (7.3).

Отметим, что выполнение (7.3) при любых, сколь угодно малых означает, что последовательность сходится по вероятности к

1.3. 2-я теорема Чебышева.

Пусть - ряд независимых случайных величин с математическими ожиданиями и дисперсиями

Пусть

Считаем, что дисперсии ограничены одним и тем же числом

Тогда

Доказательство.

Определив, как и при доказательстве (7.3), N из условия приходим к выводу, что сходится по вероятности к

1.4. Теорема Бернулли.

При неограниченном возрастании числа независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью частота события А сходится по вероятности к его вероятности

Доказательство.

Пусть X принимает значение 1 или 0 с вероятностью, соответственно, или Тогда частота Математическое ожидание частоты Следовательно, сходится по вероятности к