Лекция 1. Основные понятия теории вероятностей

1. Теория вероятностей изучает эксперименты со случайными исходами.

Эксперимент - это осуществление намеченного действия и результат такого действия.

Результат - это исход эксперимента.

Эксперимент случвйный, если его исход нельзя предсказать до его получения.

Основное ограничение: Мы будем рассматривать только такие эксперименты, которые можно повторять при неизменных условиях неограниченное число раз.

Каждую ситуацию, которую можно наблюдать в зависимости от исхода эксперимента, будем называть событием.

Пример 1.1. Бросаем кость. Исход - то или иное число очков. Событие

- число очков, скажем, больше 3.

Вероятность - степень уверенности в наступлении того или иного события.

Цель теории вероятностей - вычисление вероятностей событий, их комбинаций, а также изучение свойств вероятностей.

2. Теория вероятностей предполагает, прежде всего, построение математической модели случайного эксперимента, которая служит описанием возможных исходов, событий, вероятностей наступления этих событий. Это описание должно быть выполнено таким образом, чтобы обеспечить возможность вычисления вероятностей комбинации событий.

3. Построим модель случайного эксперимента.

Множество исходов случайного эксперимента назовем пространством исходов и обозначим Пространство исходов может быть дискретным или непрерывным.

Пример 1.2. Дискретное пространство: эксперимент - бросание кости, исход - выпадение числа очков, S = {1,2,3,4,5,6}. Непрерывное пространство: эксперимент - ожидание автобуса при условии, что ожидаешь не более минут, исход - конкретное время ожидания,

Событие - любое подмножество пространства исходов Событие обозначим Е.

Событие произошло, если в результате эксперимента исход X принадлежит

Элементарное событие: оно содержит только один исход.

Достоверное событие: оно совпадает с пространством исходов

Невозможное событие: оно совпадает с пустым множеством.

Противоположное событие оно состоит в том, что событие Е не произошло.

Несовместные события: они не имеют общих исходов.

Сумма (или объединение) событий (или ): это событие, заключающееся в том, что из двух событий А и В в результате случайного эксперимента происходит, по крайней мере, одно.

Произведение событий (или ): это событие, заключающееся в том, что события А и В происходят одновременно.

Мы ограничимся наименьшим классом событий, который обладает следующими свойствами:

- пустое множество 0 принадлежит этому классу;

- если событие Е принадлежит классу, то и противоположное событие также принадлежит классу;

-если каждый юменг счетной последовательности событий принадлежит классу, то суммв (объединение) событий также принадлежит классу.

Из последнего свойства вытекает, что и произведение двух событий (или счетного числа событий) принадлежит классу, если каждое событие принадлежит классу.

Класс событий с указанными свойствами достаточен для описвния любого физического явления, возникающего в результате эксперимента. Такой класс событий назовем полем событий

Поле - это множество событий, для которых определены операции сложения и умножения.

Итак, мы ввели где - пространство исходов, поле событий.

Определим вероятность события Р как число, удовлетворяющее следующим свойствам:

- действительное число;

для любого

(вероятность достоверного события);

для любой счетной последовательности взаимно несовместимых событий на

Такое достаточно общее определение вероятности позволяет при рассмотрении тех или иных физических явлений конкретизировать понятие вероятности в зависимости от специфики задачи. Итак, вероятность - это функция, заданная на и принимающая значения на [0,1].

4. Некоторые свойства вероятностей, вытекающие из определения вероятности.

Свойство

Доказательство.

но несовместимы. Следовательно, Отсюда,

Свойство

Доказательство.

несовместимы и Следовательно, Отсюда

5. Конструктивные способы задания вероятностей.

Наиболее трудная задача математического моделирования реальных явлений состоит в правильном задании вероятностей в зависимости от специфики явлен Такое задание должно быть конструктивным, с одной стороны, соответствовать определению вероятности, а с другой стороны - позволять решать конкретную задачу.

5.1. Выполним эксперимент многократно и подсчитаем, сколько раз произошло событие Е. Если - общее число экспериментов, - число экспериментов, в которых произошло событие Е, то назовем относительной частотой появления события Е.

За вероятность примем предел

5.2. Если - пространство равновозможных несовместных исходов и - число исходов, соответствующих (благоприятствующих) событию Е, то

где - общее число исходов.

5.3. В том случае, если - непрерывная область, - область, благоприятствующая появлению в результате случайного эксперимента события А, за вероятность удобно принять

где - мера области - мера области

5.4. Пусть А и В два произвольных события. Назовем условной вероятностью отношение

при условии

События независимы, если

Пример 1.3. В ящике 94 хороших болта и 6 плохих. Из ящика выбраны случайно 5 болтов. Какова вероятность Р, что все выбранные болты хорошие? .

Пример 1.4. Три человека бросают по очереди монету до первого выпадения “орла”. Выигрывает тот, у кого выпадает “орел”. Каковы относительные шансы выигрыша каждого игрока?

Назовем “серией” однократное бросание монеты тремя игроками, начиная с первого. Пусть - вероятность невыпадения "орла” за к серий. Тогда вероятности выигрыша каждого из трех игроков на следующей серии равны (к - произвольное число):

вероятность выигрыша первого игрока

вероятность выигрыша второго игрока

вероятность выигрыша третьего игрока

Следовательно, шансы игроков откосятся как

Пример 1.5. В комнате находятся студенты в количестве человек. Из них курящих - человек, в очках - человек, курящих и в очках - человек. Удаляем случайным образом студента из комнаты. Курит ли он и носит ли он очки?

Теперь предположим, что мы увидели, что удаленный студент в очках. Какова вероятность, что он и курит?

Пример 1.6. Двое решили встретиться в условленном месте между тремя и четырьмя часами дня, причем пришедший ждет партнера не более 20 мин. Какова вероятность встречи?

Если - время прихода первого партнера, - второго партнера, то представляет квадрат со стороной, равной 1 (рис. 1.1). Условие встречи часа вырезает полосу, заштрихованную на рисунке. Отношение площади заштрихованной области к площади квадрата есть искомая вероятность:

Рис. 1.1

6. Допустим, проводится эксперимент, об условиях которого можно сделать исключающих друг друга предположений (гипотез) Н:

Суммирование здесь и далее в этом примере от 1 до

Каждая гипотеза реализуется случайным образом с вероятностями Это априорные вероятности (до проведения эксперимента).

Рассмотрим некоторое событие А, которое может появляться только с одной из гипотез с вероятностями Тогда и

Отсюда

Вероятность - это апостериорная вероятность того, что в эксперименте реализовалось условие Н при результате А.

Пример 1.7. В машбюро 3 машинистки. Вы сдаете документ в машбюро для печати. Вероятность, что документ попадет к первой машинистке к второй - к третьей - Пусть А - ошибка при печати. При этом вероятность того, что первая машинистка сделает ошибку вторая - третья - Вы получили документ с ошибкой. Кто из машинисток виноват?

Вычислим вероятности того, что работу выполняла та или иная машинистка при условии наличия ошибки:

где

Отсюда видно, что наиболее вероятно, что работу исполняла и допустила ошибку 3-я машинистка.