Лекция 3. Некоторые важные для практики распределения случайных величин

1. Биномиальное распределение.

Говорят, что случайная величина X имеет биномиальное распределение, если ее возможные значения а закон распределения вероятностей имеет вид [5]

где

Пример 3.1. Пусть производится независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью Вероятность того, что в серии из опытов оно появится ровно раз, дается формулой (3.1).

Найдем важнейшие характеристики случайной величины, имеющей закон распределения (3.1).

Введем понятие производящей функции:

где - вероятность значения k.

Тогда для случайной величины X, принимающей значения имеем

Для распределения Поэтому в этом случае

Следовательно

Аналогично

Отсюда

Получим, далее, предельную формулу для биномиального распределения. Пусть Тогда

При имеем

Это означает, что в предельном случае биномиальное распределение переходит в так называемое распределение Пуассона (3.6).

2. Распределение Пуассона.

Пример 3.2. Стационарный поток событий: вероятность события на участке зависит от величины участка, но не от его положения на оси времени

Рис. 3.1

Однородность: события возникают поодиночке, что означает при

Отсутствие последствия: вероятность каждого события на участке не зависит от события на любом другом участке.

Если обозначить через а интенсивность такого потока событий А, при котором среднее число событий А на интервале равно то вероятность того, что на интервале событие А произойдет раз, дается формулой (3.6) при

Пример 3.3. Вероятность зарегистрировать нужное событие в одном опыте равна Сколько опытов нужно проделать, чтобы вероятность регистрации хотя бы одного события была не менее

Пример 3.4. Частицы испускаются радиоактивным источником со средней интенсивностью у частиц в единицу времени. Чему равна вероятность того, что число частиц, испущенных за время Т, равно

3. Нормальное распределение.

Плотность нормального распределения [3,4,5]:

Рис. 3.2

где

Пример 3.5. Ошибка измерителя дальности подчинена нормальному закону с систематической ошибкой Найти вероятность того, что измеренное значение дальности будет отклоняться от истинного не более чем на 30 м.

4. Равномерное распределение [5]

Пример 3.6. Поезда метрополитена идут с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в некоторый момент времени Время Т, в течение которого ему придется ждать поезда, представляет собой случайную величину с плотностью

Пример 3.7. Производится взвешивание тела на точных весах, но в распоряжении имеются только разновески не менее . Результат взвешивания показывает, что вес тела Предположим, что мы приняли:

Таким образом, чтобы в среднем ошибка определения веса А была равна нулю, следует принять за истинный вес