Лекция 14. Оценка параметра доверительным интервалом

В предыдущих лекциях рассматривалась задача точечного оценивания, когда в результате обработки тем или иным методом выборки измерений давалась оценка 0 неизвестного параметра. Эта оценка, являясь функцией измерений со случайными ошибками, сама являлась случайной величиной. Поэтому, имея 0, всегда мысленно представляешь, что 0 не совпадает с но находится где-то вблизи При этом, чем точнее оценка, тем ближе .

Рассмотрим оценку

При большом эта оценка распределена по нормальному закону при любой плотности вероятностей ошибок измерений, для которой существует дисперсия (лекция 8). Поэтому можно записать

где

- истинное значение оцениваемого параметра,

- дисперсия ошибок измерений,

- количество измерений (предполагается, что ошибки измерений имеют одинаковую дисперсию нулевое математическое ожидание и взаимно независимы).

Зададимся числом 1-а и выберем 2 таким, чтобы можно было записать

или

Учитывая (14.2), имеем по (3.15)

Из (14.5) ясно, что для любого значения (1 - а) можно найти соответствующее значение такое, чтобы выполнялось (14.3) или (14.4).

Величина (1 - а) называется доверительной вероятностью, а интервал - доверительным интервалом.

Таким образом выбрав (1 - а) и определив можно записать [6,7]

Неравенство (14.6) означает, что искомый параметр находится в интервале с вероятностью (1 - а).

Таким образом, мы указали интервал, который накрывает неизвестный параметр с вероятностью (1 - а).

Опираясь на (3.11),(3.12),...(3.14) можно выписать значения при разных (1 - а):

Для других значений (1 - а) величина находится из уравнения (14.5). Функция табулирована и ее значения можно найти, например, в справочнике по математике.

Оценка, полученная методом максимального правдоподобия, асимптотически несмещенная и имеет нормальное распределение. Поэтому для нее можно записать

где

- искомый параметр,

- оценка максимального правдоподобия параметра,

дисперсия оценки

вычисляется по (14.7) или решением уравнения (14.5) по заданной доверительной вероятности (1 - а).

Пример 14.1. Пусть дана выборка измерений где Необходимо указать доверительный интервал, который накрывает с доверительной вероятностью

По (14.7) при находим Далее вычисляем арифметическое среднее

и определяем доверительный интервал для неизвестного параметра

Пример 14.2. Вероятность появления события в опыте неизвестна. Проведено опытов, в которых событие появилось 64 раза. Определить доверительный интервал для с доверительной вероятностью 0.9

Функция правдоподобия

Уравнение правдоподобия

Откуда

или

Оценка есть, по существу, среднеарифметическое

где с вероятностью с вероятностью

Дисперсия величины

Учитывая, что

получим

Поскольку - неизвестно, но известна его оценка можно положить

что дает возможность найти требуемый доверительный интервал

В нашем случае Поэтому с доверительной вероятностью 0.9

или