Лекция 4. Случайные векторы

1. Предположим, что каждому исходу случайного эксперимента соответствует не одно, а несколько случайных чисел.

Пример 4.1. Стреляем в мишень. Координаты пробоины - совокупность двух случайных величин X и Y.

Совокупность (или система) случайных величин - случайный вектор:

Пример 4.2. Бзвешиваем тело раз. Из-за ошибок каждое взвешивание дает случайный результат Совокупность всех измерений - случайный вектор или выборка.

Для выборки независимых измерений плотность вероятности

2. Совокупность 2-х случайных величин.

Функция распределения [3,4]

2.1. Это неубывающая функция обоих аргументов.

- функция распределения одной из величин.

распределения системы двух случайных величин.

где - некоторая область пространства изменения случайных величин X и Y.

- плотность распределения случайной величины X,

- плотность распределения случайной величины У.

3. Зная закон распределения совокупности (системы) случайных величин, можно найти распределение каждой из них.

Наоборот можно сделать только в том случае, когда величины независимы. т.е. закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая случайная величина:

В общем случае:

Отсюда - условные плотности распределения:

3.1 Моменты центральные

где

(интегрирование по х и у от )

Для независимых случайных величин . Коэффициент корреляции

При этом

Если

3.2. Условные математические ожидания

Условное математическое ожидание есть функция от Эта функция носит название регрессии V по (или на) X. Аналогично, ту как функция у - регрессия X по

4. Пусть задана плотность системы случайных величин

Тогда

Матрица

называется ковариационной матрицей или матрицей ковариаций. Это симметричная относительно главной диагонали матрица элементы главной диагонали которой равны дисперсиям:

Условное математическое ожидание

где называется регрессией на

Для взаимонезависимых случайных величин ковариация при и ковариационная матрица имеет диагональный вид.

5. Двумерное нормальное распределение

Для нормального распределения:

Из (4.25), (4.26) видно, что регрессии для системы двух нормально распределенных величин представляют собой прямые линии.