Лекция 24. Сравнение различных методов проверки 2-х простых гипотез

1. Рассмотрим гипотетическую задачу: датчик реагирует на концентрацию 0 газа Нормальная концентрация (условных единиц). При концентрации датчик выдает сигнал пожарной тревоги. Точность единичного измерения концентрации газа характеризуется а ошибки распределены по нормальному закону

Предположим, датчик всегда проводит 4 измерения, вычисляет арифметическое среднее где - концентрация, и далее сравнивает полученное значение с порогом

Если неравенство выполнено, то и надо выдать сигнал тревоги.

Предположим, мы задали платы (матрица потерь) за решения (табл. 24.1).

Таблица 24.1

При таких исходных данных, как следует из (16.13), порог равен

Следовательно, если среднее значение концентрации то принимаем и выдаем сигнал тревоги.

Вычисляем по (16.14), (16.15) ошибки первого и второго рода:

. То, что много меньше а, естественно: лучше чаще выдавать ложный сигнал тревоги чем пропустить возгорание . При этом средний риск по (16.5) равен Таким образом, байесовское решение дает для порог и вытекающие

из него значения

Предположим, мы не учитываем потери при решениях, т.е. при решении задачи забываем о табл. 24.1 и полагаем Тогда по (16.13) порог (это порог максимума апостериорной вероятности), а ошибки и средний риск равны (при расчетах среднего риска мы вспоминаем значения табл. 24.1).

Далее, положим дополнительно . Тогда порог (это порог максимального правдоподобия),

И наконец, воспользуемся для выбора порога критерием Неймана-Пирсона и положим . Тогда порог определяется из уравнения . Отсюда При этом Средний риск равен

Сведем все полученные результаты в табл. 24.2.

Таблица 24.2. Сравнение методов принятия решений

Как видно из приведенных данных, критерий (24.2) обеспечивает, как и должно быть, наименьший средний риск Однако, при этом ошибка первого рода а достаточно велика:

Критерий Неймана-Пирсона обеспечивает фиксированную ошибку достаточно малую ошибку но проигрывает байесовскому решению по среднему риску:

2. Особенность всех рассмотренных нами методов проверки простой гипотезы Но против простой альтернативы заключается в том, что вначале накапливается выборка измерений а затем принимается решение по правилу

В некоторых практических задачах необходимо принимать решение как можно раньше, не ожидая накопления всех измерений. Для этих задач разработан последовательный критерий, который заключается в следующем [13].

Пусть проведено к независимых измерений. Тогда отношение правдоподобия для к измерений запишется в виде

где - плотность вероятности измерения произведение берется от

Пусть заданы требуемые ошибки первого и второго рода - Предполагая, что на практике требуется всегда вычислим два порога

Тогда, если

то принимаем решение если

то принимаем решение если

то продолжаем измерения, получаем следующий замер вычисляем и проверяемнеравенства (24.5), (24.6), (24.7).

Упростим вычисление. Введем

Тогда (24.5), (24.6), (24.7) запишутся, соответственно, в виде:

Получение следующего замера означает суммирование к неравенств еще одного члена

Использование критерия (24.9), (24.10), (24.11), который называется последовательным, позволяет, в среднем, принимать решение, обеспечивающее заданные значения при меньшем количестве измерений чем, например, критерий Неймана-Пирсона. Среднее значение для последовательного критерия зависит от значения 0 и равно

при

Пример 24.1. Пусть измерения распределены по нормальному закону

В этом случае вместо неравенств (24.9), (24.10) и (24.11) удобно проверять их следствия

если по полученным к измерениям

то принимаем решение если

то принимаем решение если

то продолжаем измерения и получаем следующее измерение.

Здесь - текущее среднее значение.

Для расчета среднего количества измерений для принятия решения вычислим и получим

Для получения численных оценок рассмотрим задачу, изложенную в начале лекции: , скажем, для байесовского порога Вычисляя среднее количество измерений по (24.12), (24.13), получим:

Другими словами, если при использовании байесовского критерия мы всегда производим 4 измерения то при последовательном критерии в среднем мы будем производить всего 1-3 измерения.

Для критерия Неймана-Пирсона: (табл. 24.2). Для обеспечения таких же а и при последовательном анализе, в среднем, потребуется измерений

Рассмотренный последовательный анализ носит название критерия Вальда.

Надо сказать, что формулы для порогов А и В, обеспечивающие заданные значения ошибок и и а также формулы для носят приближенный характер, но их точность увеличивается с возрастанием количества измерений. Другими словами, используя на практике пороги (24.4), мы не точно гарантируем результатирующие ошибки а и а также совпадения среднего значения измерений по (24.12), (24.13) с практическим. Поэтому значение ошибок а и в каждом конкретном практическом случае необходимо исследовать особо.