Лекция 5. Числовые характеристики функций случайных величин

1. Пусть - дискретная случайная величина:

Тогда [3,4,5]

Суммирование от 1 до

Для непрерывных случайных величин, имеющих плотность распределения

Интегрирование здесь и далее в этой лекции от до .

Для многомерной случайной величины с плотностью распределения

Пример 5.1. Пусть точка М с координатами распределена равномерно в круге радиуса с центром в начале координат. Тогда Необходимо найти математическое ожидание и дисперсию

расстояния точки М от центра круга.

Положим Тогда Аналогично можно найти

2. Пусть Тогда

В случае имеем:

где - элементы ковариационной матрицы случайного вектора

Если компоненты этого вектора взаимно независимы, то

3. Пусть Тогда

Если компоненты вектора взаимно независимы, то

Здесь математическое ожидание а произведение П берется по всем от 1 до .

4. Метод линеаризации.

Линеаризация - приближенная замена нелинейной функции линейной. Пусть Обозначим и разложим в ряд относительно точки а:

Ограничимся двумя первыми членами, положив:

Следовательно

Пример 5.2. Пусть . Тогда . Далее Следовательно, в линейном приближении

В случае системы случайных величин линейное приближение запишется в следующем виде [5]:

Суммирование здесь от 1 до - ковариация а частные производные вычисляются в точке