г. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА

Процесс выделения факторов начинается с составления матрицы коэффициентов корреляции, определенных, как правило, путем экспериментов. Цель состоит в переходе от редуцированной матрицы корреляции к редуцированной факторной матрице, которая позволит определить: а) сколько общих факторов необходимо для отражения всех корреляций между переменными изучаемой серии (число общих факторов равно числу столбцов редуцированной факторной матрицы) и б) каковы нагрузки каждого фактора для разных переменных (нагрузки всех факторов для одной переменной образуют строки факторной матрицы).

В основе этой процедуры лежит уравнение для некоррелированных факторов

Теперь можно сформулировать следующую теорему: редуцированная матрица корреляции равна произведению редуцированной факторной матрицы на транспонированную. Эту основную зависимость можно проиллюстрировать на следующем примере:

Схема 3.5. Редуцированная матрица корреляции R равна произведению редуцированной матрицы F на транспонированную матрицу Г

Математическое доказательство этой теоремы мы здесь не приводим, так как это увело бы в сторону от основного направления, принятого нами в изложении материала. Читатель легко найдет это доказательство в фундаментальных курсах по факторному анализу, например, в работе Тэрстоуна [203]. Мы сосредоточим внимание на вытекающем из этой теоремы уравнении, позволяющем определить корреляции на основе факторных нагрузок.

Это уравнение имеет основополагающее значение в практике выделения факторов. Оно имеет следующий вид:

и означает, что корреляция между переменными а и в случае некоррелированных факторов С, общих для обеих переменных, равна сумме произведений нагрузок каждого из факторов на эти переменные. Корреляция — это нагрузки фактора по обеим переменным а и b. Корреляция — это нагрузки фактора при переменных а и b. Наконец, — нагрузки фактора, общего для обеих переменных.

Приведенное уравнение можно относительно легко вывести из основной зависимости, представленной на схеме 3.5, учитывая при этом правила умножения матриц и принимая во внимание элементы матриц F и F представляют собой факторные нагрузки.

Выше уже отмечалось, что при решении проблемы факторов используется редуцированная факторная матрица. Приступая к анализу, исследователь располагает лишь исходной корреляционной матрицей, являющейся, по существу, полной матрицей если на ее главной диагонали находятся единицы.

Однако в факторном анализе, как уже отмечалось, нас интересуют в основном только общие факторы и прежде всего потому, что именно они выражают собой влияния, лежащие в основе обнаруженных корреляций. Таким образом нужно анализировать общую дисперсию переменных, а потому на главной диагонали должны находиться не единицы, а элементы соответствующие общностям. Другими словами, необходима редуцированная корреляционная матрица. Трудность заключается в том, что величины заранее неизвестны, так как их нельзя определить экспериментальным путем. Эту трудность можно обойти с помощью различных способов оценки величины . О них будет речь ниже, сейчас же целесообразно коснуться основных проблем, связанных с рангом корреляционной матрицы.

Ранг матрицы был определен в предыдущем разделе как максимальное число линейно независимых строк или столбцов. В теории факторного анализа ранг корреляционной матрицы определяется несколько иначе. К этой проблеме мы еще вернемся при геометрической интерпретации основных зависимостей факторного анализа; здесь же будут приведены лишь некоторые важнейшие теоремы.

Если элементами матрицы являются коэффициенты корреляции, то ранг редуцированной корреляционной матрицы равен числу общих факторов.

Ранг полной корреляционной матрицы равен ее порядку. Можно показать, что матрица имеющая ранг и порядок , может быть преобразована в факторную матрицу, включающую столько факторов, сколько тестов (переменных) в изучаемой серии.

Такое преобразование, однако, не совсем желательно, так как основной предпосылкой факторного анализа является определение корреляции большого числа переменных при помощи меньшего количества общих факторов.

Так как ранг корреляционной матрицы, а следовательно, и число факторов, опосредствующих корреляции, зависит от того, какие величины находятся на главной диагонали этой матрицы, то при проведении многофакторного анализа целесообразно выбирать такие элементы главной диагонали, чтобы ранг матрицы был по возможности меньшим.

Принимается, что наиболее подходящими элементами являются величины, соответствующие общностям .