3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ НЕКОТОРЫХ ОСНОВНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ

До сих пор основные предположения и зависимости факторного анализа рассматривались в алгебраической форме. Теперь же попытаемся сделать это с помощью графиков, используя некоторые геометрические понятия, или, как говорит Тэрстоун, геометрические аналогии. Эти аналогии основываются не только на обычной, но и на аналитической геометрии.

Геометрическое представление основных проблем теории факторов имеет большое значение по двум причинам. Во-первых, на определенных этапах процедуры факторного анализа графическая интерпретация, как это будет показано ниже, является важным элементом, без которого нельзя довести процедуру до конца. Во-вторых, как показал опыт ряда специалистов по факторному анализу, многие трудности, с которыми сталкиваются не математики при знакомстве с математической стороной факторной теории, удается в значительной степени преодолеть благодаря графическому изображению различных зависимостей. В соответствии с широко распространенным мнением большинство студентов, изучающих, например, психологию и сталкивающихся с факторным анализом, лучше понимают и запоминают те зависимости, которые были проиллюстрированы в геометрической форме.

а. КОРРЕЛЯЦИЯ КАК СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Рассмотрим прежде всего способ графического представления коэффициента корреляции, являющийся важным элементом более сложных методов геометрической интерпретации.

Каждую из двух связанных друг с другом переменных можно представить как вектор, т. е. определенный отрезок прямой, имеющий определенную длину и направление (в аналитической геометрии вектором называется направленный отрезок, т. е. с обозначенными началом и концом; если А — начало вектора, В — его конец, то вектор обозначается АВ, а его длина, или абсолютная величина, ).

Если обе переменные представить в виде векторов (в случае тестов говорят о «векторах тестов»), то можно показать, что существующая между ними корреляция равна скалярному произведению этих векторов или произведению абсолютных величин обоих векторов на косинус угла между ними:

где

— коэффициент корреляции между переменными 1 и 2;

— длина вектора, соответствующая первой переменной 1;

— длина вектора, соответствующая переменной 2;

— угол между векторами

Эту зависимость можно изобразить на графике. Из трактовки коэффициента корреляции как скалярного произведения вытекают интересные выводы, имеющие важное значение для геометрического представления зависимостей факторной теории.

Первый такой вывод относится к нулевой корреляции, т. е. к случаю ее отсутствия. Когда величина представляющая собой скалярное произведение, будет равна нулю? Если предположить, что оба вектора и больше нуля, то будет равно нулю только тогда, когда Известно, что нулю равен косинус угла 90°. Отсюда вывод: случай отсутствия корреляции, когда величины обоих векторов больше нуля, геометрически соответствует прямому углу между векторами.

Второй вывод относится к отрицательной корреляции. Отрицательные коэффициенты корреляции всегда соответствуют тупым углам (от до 180°), при этом, как и ранее, предполагается, что величины обоих векторов больше нуля. Это непосредственно связано с тем фактом, что косинус углов от 90 до 180° находится в границах от 0 до —1,0.

Положительные корреляции будут соответствовать острым углам между векторами, так как косинус углов от 0° до 90° находится в границах от до 0.

Пойдем дальше. Если предположить, что оба вектора равны 1 (т. е. соответствуют полной дисперсии двух тестов), то и скалярное произведение векторов будет просто равно косинусу утла между ними. В этом случае формула упростится и будет иметь вид:

Каким образом эту зависимость можно проиллюстрировать на конкретном примере?

Рассмотрим случай, когда угол равен 45°.

Тогда косинус этого угла составит примерно 0,707 и в соответствии с формулой (3.13) коэффициент корреляции можно изобразить при помощи двух единичных векторов, которые наклонены друг к другу под углом 45° (рис. 3.6).

Рис. 3.6

На этом рисунке отрезок перпендикулярен Из определения косинуса известно, что он равен частному от деления отрезков на ОА, т. е.

Так как, по предположению , то

Отрезок — это не что иное, как прямоугольная проекция вектора 2 на вектор 1, равная в этом случае косинусу угла между векторами и одновременно коэффициенту корреляции между переменными, представленными в виде векторов. Теперь можно сформулировать теорему: скалярное произведение двух единичных векторов равно проекции одного из них на другой.

Остается еще напомнить некоторые специальные термины, опирающиеся на геометрическую интерпретацию корреляции.

Особенно часто в факторном анализе используется нулевая корреляция, которую можно представить при помощи взаимоперпендикулярных векторов. Поэтому некоррелированные факторы на языке терминологии факторного анализа называются ортогональными (перпендикулярными), тогда как коррелированные факторы — косоугольными.