3. АКСИОМЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАССТОЯНИЯ

Два значения признака J будут рассматриваться как близкие, если переход от одного из них к другому мало влияет на распределение по множеству значений i признака

Необходимо дать математическую формулировку этого неточного определения. Для этого мы должны ввести расстояние между значениями признака

3.1. Вообще говоря, различные значения J имеют неодинаковую важность. Например, француз значительно реже (Рмала) проживает в департаменте Лозер, чем в департаменте Сена велика). Напротив, возрастные структуры их населения (распределение по I) вполне могут быть сходными. Таким образом, речь идет о создании способа измерения, при котором эти два департамента считаются близкими.

Следовательно, расстояние, которым мы хотим измерить близость между двумя значениями признака J, должно удовлетворять следующей аксиоме.

Аксиома l. Расстояние между двумя значениями признака J должно быть тем меньше, чем в большей степени сходны условные вероятности, соответствующие этим значениям.

Если двум значениям J соответствуют одни и те же условные вероятности по всем значениям I, то расстояние между ними будет равно нулю:

Таким образом, способ измерения близости между значениями не принимает во внимание объемов подмножеств исходной выборки, соответствующих этим значениям. Как мы увидим в дальнейшем, эффект объема не устраняется из рассмотрения полностью и окончательно, он просто должен быть отделен от того, что можно назвать «эффектом структуры относительно значений I».

Исходя из равенства

мы можем сказать, что представляет собой эффект структуры и что только она учитывается при определении расстояния (в соответствии с аксиомой I), в то время как представляет собой эффект объема и играет примерно ту же роль, что и «веса» при исчислении сложных индексов.

3.2. Предположим теперь, что две социально-профессиональные категории «рабочих» и «служащих» имеют одинаковое распределение по типам приобретенных ими автомобилей. Тогда совершенно ясно, что при изучении покупок автомобилей в различных социально-профессиональных категориях должна существовать возможность перегруппировать две упомянутые категории (два разных значения признака I) в одну более крупную: «рабочие и служащие», и это не должно никак отразиться на близости между типами автомобилей и, следовательно, на их взаимных расстояниях (такого рода перегруппировки помогают уменьшить число значений, принимаемых признаком I).

Это свойство формализуется во второй аксиоме, которой должно удовлетворять выбранное расстояние между значениями признака

Аксиома II. Если два значения признака имеют одни и те же условные вероятности по всем значениям признака J, т. е.

они заменяются одним значением k, таким, что

и расстояние между любой парой значений J должно при этом остаться неизменным.

Исходя из этих двух аксиом, мы выбираем следующую формулу расстояния:

3.3. Проверка выполнения аксиом.

Аксиома для всех i, то и наоборот, если то все квадраты в формуле расстояния равны нулю и для всех

Аксиома II. Предположим, что для всех j. Покажем, что при замене одним значением таким, что

сохраняется. Запишем в виде

В этой сумме изменяются только два слагаемых:

так как и очевидным образом Эти два слагаемых заменяются выражением

и расстояние сохраняется.