2. ОСНОВЫ РАСЧЕТА ФАКТОРНЫХ НАГРУЗОК В ЦЕНТРОИДНОМ МЕТОДЕ

Значение геометрической интерпретации множества взаимных корреляций и связанных с ними факторов при изложении факторной теории заключается прежде всего в том, что она облегчает понимание основных зависимостей. На практике, когда нужно рассчитать факторные нагрузки или проекции векторов на оси координат, дело обстоит иначе, так как трудно вычерчивать системы векторов на бумаге или строить модели. Действительно, помимо технических трудностей существуют невыполнимые задачи изображения системы в четырех- или пятимерном пространстве. Поэтому при расчете факторных нагрузок нужно перейти от геометрического к алгебраическому решению задачи. Этот переход можно осуществить довольно просто, поскольку всем вышеприведенным геометрическим представлениям, также как и тем, которые будут введены далее, соответствуют определенные расчетные операции. Благодаря им можно, например, непосредственно определить величины проекций векторов на оси факторов. Это никоим образом не означает полного отказа от графического изображения, когда размерность задачи больше четырех. Как уже указывалось, даже в этом случае можно учитывать по две размерности одновременно и представлять на графике положение отдельных векторов относительно осей, разбивая тем самым задачу на составные элементы.

При описании алгебраической процедуры расчета факторных нагрузок на основе совокупности корреляций целесообразно вспомнить зависимость, имеющую здесь основополагающее значение. Речь идет об уже приводившемся фундаментальном уравнении многофакторного анализа, описывающего связь между коэффициентом корреляции и соответствующими факторными нагрузками. Напомним, что это уравнение имеет вид:

С помощью этого уравнения можно рассчитывать корреляцию Между двумя переменными, если известны нагрузки общих для них факторов. В практике факторного анализа речь идет о противоположной задаче: на основе известных корреляций нужно рассчитывать факторные нагрузки. Попытаемся найти способ решения этой задачи, предполагая для упрощения, что существует лишь один общий фактор Допустим, что известны корреляция переменной а с шестью другими переменными:

Каждая из этих переменных характеризуется нагрузкой общего фактора Теперь с учетом приведенной зависимости можно написать следующие уравнения:

Правая сторона всех уравнений содержит корреляцию Отсюда следует, что при суммировании относительно большого числа таких произведений в столбце разница между коэффициентами корреляции переменных b, с, d и т. д. с фактором становится незначительной по сравнению с суммой всех произведений. Получается число, являющееся в нашем случае суммой шести коэффициентов С учетом этого формулируется следующая теорема: средняя корреляция переменной со всеми другими переменными, рассчитанная из суммы всех корреляций в столбце, пропорциональна корреляции этой переменной с общим фактором . На практике такая корреляция рассчитывается путем суммирования элементов столбца и деления полученной суммы на корень квадратный из суммы всех столбцов матрицы. На эту основную операцию опирается процедура выделения факторов по матрице парных корреляций. Процедура будет показана ниже на конкретном числовом примере.