1.4. Статистическая зависимость и корреляция

1. Если две случайные величины статистически независимы, то двумерные моменты распадаются на произведение одномерных, а все совместные кумулянты обращаются в нуль. С другой стороны, если все совместные кумулянты равны нулю, то на основании (1.3.1) случайные величины статистически независимы. Тем самым, равенство нулю всех совместных кумулянтов необходимо и достаточно для статистической независимости случайных величин.

Следовательно, какую-либо статистическую связь случайных величин можно оценивать по их совместным кумулянтам. Расположим эти кумулянты в соответствии с их порядком в виде треугольной таблицы:

Будем говорить, что две случайные величины статистически зависимы, если хотя бы один совместный кумулянт из (1.4.1) отличен от нуля. Ни двумерная характеристическая функция, ни двумерная плотность вероятности не распадается в этом случае на произведения одномерных сомножителей.

Это значит, что статистическая зависимость двух случайных величин есть характеристика, присущая именно двумерному распределению, и она не влияет на одномерные распределения этих величин, поскольку последние определяются только кумулянтами и . Тем самым, задавшись какими-либо одномерным распределениями, т. е. значениями и , мы можем построить сколько угодно треугольных таблиц (1.4.1), т. е. сколько угодно двумерных распределений.

2. Простейшим совместным кумулянтом является ковариация

Та статистическая взаимосвязь между двумя случайными величинами, которая связана с тем, что носит название коррелированности этих величии.

Говорят, что две случайные величины коррелированы, если , и некоррелнроваиы, если . Численно коррелированпость удобно оценивать безразмерным коэффициентом корреляции

(1.4.2)

абсолютная величина которого не превышает единицы .

Статистически независимые величины некоррелнроваиы. Однако из некоррелированности в общем случае не следует статистическая независимость. Случайные величины могут быть некоррелированы и в то же время статистически зависимы, если хотя бы один из кумулянтов более высокого порядка в (1.4.1) отличен от нуля. Вместе с тем, имеются и такие двумерные распределения, для которых некоррелированность означает статистическую независимость. Очевидно, что это те распределения, все совместные кумулянты которых, кроме , вообще равны нулю (см. следующий параграф).

Рассмотрим характер взаимосвязи двух случайных величин, описываемой корреляцией. Пусть случайные величины связаны линейным соотношением . Тогда . Итак, коэффициент корреляции линейно-связанных случайных величин принимает значения, равные в зависимости от знака . Тем самым линейно-связанные случайные величины полностью коррелированы.

Возьмем теперь нелинейную связь. Пусть, например, , а распределение симметрично относительно . В этом случае нетрудно обнаружить, что , а следовательно, и . Таким образом, хотя случайные величины и жестко взаимосвязаны, коэффициент их корреляции равен нулю. В то же время можно показать, что, например, .

По этой причине коэффициент корреляции называют также коэффициентом линейной корреляции, подчеркивая, что он характеризует степень линейной статистической связи случайных величин.

Смысл статистической связи, представленной высшими совместными кумулянтами, будет рассмотрен ниже.

3. В заключение параграфа укажем свойства ковариации и корреляции случайных величин.

Известно, , например, , что если некоторая операция над переменными и обладает следующими свойствами:

(1.4.3)

то справедливы два неравенства: неравенство Коши — Буняковского

(1.4.4)

и «неравенство треугольника»

Легко проверить, что как корреляция так и ковариация обладают всеми свойствами (1.4.3). Следовательно,