§ 12. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал

Для понимания данного вопроса рассмотрим пример.

Пример. Измеряется величина износа цилиндра после некоторого периода эксплуатаций. Эта величина определяется значением увеличения диаметра цилиндра. Обозначим ее Из существа задачи следует, что величина может принимать любое значение из некоторого интервала возможных ее значений.

Такую величину называют непрерывной случайной величиной.

Итак, рассмотрим непрерывную случайную величину заданную на некотором интервале который может быть и бесконечным интервалом Разделим этот интервал произвольными точками на малые интервалы длины

Рис. 416.

Допустим, что нам известна вероятность того, что случайная величина попала в интервал Эту вероятность мы обозначим так: и изобразим в виде площади прямоугольника с основанием

Для каждого интервала определяется вероятность попадания случайной величины в этот интервал и, следовательно, может быть построен соответствующий прямоугольник. Таким образом, получаем ступенчатую ломаную.

Определение 1. Если существует такая функция что

то эта функция называется плотностью распределения вероятностей случайной величины или законом распределения. (Также говорят «плотность распределения» или «плотность вероятности».)

Рис. 417.

Через будем обозначать случайную непрерывную величину, через или значения этой случайной величины. Но иногда, если это не мешает пониманию, и в первом случае черту будем опускать. Кривая y = f(x) называется кривой распределения вероятностей или кривой распределения (рис. 417). Пользуясь определением предела, из равенства (1) с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно следует приближенное равенство

Докажем далее следующую теорему.

Теорема 1. Пусть f(x) есть плотность распределения случайной величины Тогда вероятность того, что значение случайной величины попадет в некоторый интервал равна определенному интегралу от функции f (х) в пределах от а до Р, т. е. справедливо равенство

Доказательство. Разобьем интервал точками на малых интервалов (рис. 418).

Рис. 418.

К каждому из этих интервалов применим формулу (2):

(вкладываем левые и правые части равенства. Очевидно, что слева получим Итак,

Получили приближенное равенство. Переходя к пределу в правой части при шах на основании свойств интегральных сумм получим точное равенство

(Мы предполагаем, что f(x) такова, что справа стоящий предел существует.) Но справа стоящий предел есть определенный интеграл

от функции в пределах от а до р. Итак,

Теорема доказана.

Таким образом, зная плотность распределения случайной величины, мы можем определить вероятность того, что значение случайной величины попало в данный интервал. Геометрически эта вероятность равняется площади соответствующей криволинейной трапеции (рис. 419).

Замечание. В случае непрерывной случайной величины вероятность события, состоящего в том, что будет равна нулю.

Действительно, положив в равенстве получим

откуда

или

(См. также замечание 1 на с. 437.) Поэтому в равенстве (3) и предыдущих мы можем писать не только но и так как

Рис. 419,

Если все возможные значения случайной величины находятся в интервале , то

так как достоверно, что значение случайной величины попадет в интервал

Если интервал возможных значений то

Заметим, что если из существа рассматриваембй задачи следует, что функция f (х) определена на конечном интервале то можно считать, что она определена на всем бесконечном

интервале но

вне интервала . В этом случае выполняется и равенство (4), и равенство (5). Плотность распределения случайной величины полностью определяет случайную величину.