3.2. Функции распределения случайных величин

Рассмотрим теперь действительную случайную величину которой область значений х есть действительная прямая (т. е. Рассмотрим точку X на действительной прямой. Функция от X, значениями которой являются вероятности того, что случайная величина х меньше или равна X, называется функцией распределения случайной величины х. Так как вероятности всегда лежат в пределах от нуля до единицы, то экстремальными значениями функции распределения также должны быть нуль и единица:

Из определения функции распределения следует, далее, что вероятность того, что случайная величина х лежит в интервале равна просто разности значений функции распределения на концах интервала:

Последнее неравенство вытекает из того, что вероятности всегда неотрицательны. Соотношение (3.2) показывает, что при , т. е. что функция распределения является неубывающей функцией от X.

Так же как в случае одной переменной, мы можем определить совместную функцию распределения двух случайных величин как , т. е. как вероятность того, что случайная величина х не больше заданного значения X и случайная величина у не больше заданного значения Такая функция может быть определена независимо от того, заданы ли случайные величины х и у на одном и том же выборочном пространстве или на разных. Более того, несущественно, являются ли х и у двумя отдельными одномерными случайными величинами или компонентами

двумерной случайной величины. В обоих случаях совместным выборочным пространством является двумерное пространство (плоскость ху), и совместная функция распределения совпадает тогда с вероятностью того, что результат эксперимента будет соответствовать выборочной точке, лежащей в квадранте этого выборочного пространства.

Экстремальные значения совместной функции распределения, очевидно, равны

и

причем первый из этих экстремумов соответствует невозможности, а второй — достоверности.

Вероятность того, что случайная величина х не превосходит некоторого определенного значения X, в то время как случайная величина у принимает любое возможное значение равна просто вероятности того, что , и не зависит от значения у. Последняя вероятность, по определению, равна значению функции распределения случайной величины х в точке X. Таким образом,

Геометрически это вероятность того, что соответствующая выборочная точка лежит в полуплоскости Аналогично

Итак, мы видим, что совместная функция распределения, так же как и совместные вероятности, определяет функции распределения случайных величин, являющихся компонентами двумерной случайной величины. Функции распределения для компонент случайных величин нередко называются одномерными функциями распределения.

Введенные нами определения и полученные результаты могут быть более или менее очевидным способом распространены на случай -мерных случайных величин.