ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА

Двухтомная монография Д. Гильберта и П. Бернайса занимает уникальное место в мировой математической литературе. Ее первое немецкое издание, вышедшее в тридцатых годах, подвело итог процессу становления математической логики как самостоятельной математической дисциплины со своей проблематикой и своими методами. Эта книга оказала решающее влияние на дальнейшее развитие математической логики.

Идея построения универсального языка для всей математики и формализации математических доказательств на базе такого языка выдвигалась еще Лейбницем. Однако только в середине 19 века появились первые научные работы, посвященные алгебраизации аристотелевой логики (Дж. Буль (1847) и де Морган (1858)). После того как Г. Фреге (1879) и Ч. Пирс (1885) ввели в язык алгебры логики предикаты, предметные переменные и кванторы, возникла реальная возможность применить этот язык к вопросам оснований математики.

С другой стороны, создание неевклидовой геометрии сильно поколебало уверенность математиков в абсолютной надежности геометрической интуиции, на которой была основана евклидова геометрия. Сомнениям в надежности геометрической интуиции способствовало также то, что в результате бурного развития исчисления бесконечно малых математики натолкнулись на неожиданные примеры всюду непрерывных функций без производных. Таким образом появилась потребность отделить понятие действительного числа от неясного понятия «величины», которое было основано на геометрической интуиции.

Эта задача была решена разными путями в работах Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора. Они показали возможность «арифмети-зации» анализа и теории функций, в результате чего в качестве фундамента всей классической математики стала рассматриваться арифметика целых чисел. Затем была предпринята аксиоматизация арифметики (Дедекинд (1888) и Пеано (1891)). При этом Пеано создал более удобную символику для логического языка. Позже этот язык был усовершенствован в совместном труде Рассела и Уайтхеда «Принципы математики» (1910), где была предпринята

попытка сведения всей математики к логике. Но эта попытка не увенчалась успехом, так как оказалось невозможным вывести из чисто логических аксиом существование бесконечных множеств. Хотя логицистическая программа Фреге — Рассела в основаниях математики так и не достигла своей главной цели — сведения математики к логике, в их работах был создан богатый логический аппарат, без которого оформление математической логики как полноценной математической дисциплины было бы невозможно.

На рубеже XX века были обнаружены антиномии, связанные с основными понятиями теории множеств. Наиболее сильное впечатление на современников произвела опубликованная в 1903 году антиномия Рассела. Пусть есть множество всех таких множеств, каждое из которых не является своим собственным элементом. Легко убедиться, что является своим элементом тогда и только тогда, когда не является своим элементом. Конечно, можно пытаться выйти из создавшегося противоречия, сделав заключение, что такого множества не бывает. Однако, если не может существовать множество, состоящее в точности из всех элементов, удовлетворяющих такому четко определенному условию, которое мы имеем в приведенном выше определении множества то где гарантия того, что в нашей повседневной работе мы не столкнемся с множествами, которые также не могут существовать? И каким вообще условиям должно удовлетворять определение множества для того, чтобы оно существовало? Ясно было одно. Нужно перестраивать канторовскую теорию множеств.

Брауэр (1908) выступил против применения правил классической логики к бесконечным множествам. В выдвинутой им интуицинистской программе предлагалось отказаться от рассмотрения актуальной бесконечности, т. е. бесконечных множеств как завершенных совокупностей. Допуская существование сколь угодно больших натуральных чисел, интуиционисты выступают против рассмотрения натурального ряда как завершенного множества. Они считают, что в математике всякое доказательство существования того или иного объекта должно быть конструктивным, т. е. должно сопровождаться построением этого объекта. Особой критике со стороны интуционистов подвергся закон исключенного третьего, применение которого к бесконечным множествам они считают неправомерным. Интуиционисты построили свою математику, имеющую интересные своеобразные особенности. Но она оказалась более сложной и громоздкой, чем классическая математика. Положительный вклад интуционистов в исследование вопросов оснований математики выразился в том, что они еще раз решительным образом подчеркнули различие между конструктивным и неконструктивным в математике, провели

тщательный анализ многих трудностей, с которыми столкнулась математика в своем развитии, и тем самым способствовали преодолению этих трудностей.

Против нападок Брауэра и его требований перестройки всей математики решительно выступил Гильберт. Он наметил другой путь преодоления трудностей, возникших в основаниях математики на рубеже XX века. Этот путь, основанный на применении аксиоматического метода, рассмотрении формальных моделей содержательной математики и исследовании вопросов непротиворечивости таких моделей надежными финитными средствами, получил в математике название финитизма Гильберта.

Признавая ненадежность геометрической интуиции, Гильберт прежде всего предпринимает тщательный пересмотр евклидовой геометрии, освобождая ее от обращения к интуиции. Результатом такой переработки явились его «Основания геометрии», первое издание которых вышло в 1899 году.

«Надо согласиться, что состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике — этом образце достоверности и истинности — образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводят к нелепостям. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку? Но существует вполне удовлетворительный путь, по которому можно избежать парадоксов, не изменяя при этом нашей науке», — писал Гильберт в 1925 году.

Вопросы непротиворечивости различных теорий по существу рассматривались и до Гильберта. Так, построенная Клейном (1871) проективная модель неевклидовой геометрии Лобачевского сводит вопрос о непротиворечивости геометрии Лобачевского к непротиворечивости евклидовой геометрии. Непротиворечивость евклидовой геометрии аналогично можно свести к непротиворечивости анализа, т. е. теории действительных чисел. Однако не видно было, какими средствами можно строить модели анализа и арифметики для доказательства их непротиворечивости. Заслуга Гильберта состоит в том, что он указал прямой путь для исследования этого вопроса. Непротиворечивость данной теории означает, что в ней не может быть получено противоречие, т. е. не может быть доказано некоторое утверждение и его отрицание Гильберт предложил представить рассматриваемую теорию в виде формальной аксиоматической системы, в которой будут выводимы все те и только те утверждения, которые являются теоремами нашей теории. Тогда для доказательства непротиворечивости нужно установить невыводимость в рассматриваемой теории каких-то утверждений. Таким образом, математическая теория, непротиворечивость которой мы хотим доказать,

становится предметом изучения некоторой математической науки, которую Гильберт назвал метаматематикой или теорией доказательств.

Гильберт считал, что парадоксы теории множеств вызваны не законом исключенного третьего. Он писал: «Эти парадоксы происходят скорее потому, что пользуются недопустимыми и бессмысленными образованиями понятий, которые в моей теории доказательств исключаются сами собой». Он предлагает различать «действительные» и «идеальные» предложения классической математики. Первые имеют содержательный смысл, а вторые не обязаны иметь содержательный смысл. Предложения, соответствующие употреблению актуальной бесконечности, идеальны. Мы присоединяем идеальные предложения к действительным, чтобы простые правила логики были применимы и к рассуждениям о бесконечных множествах. Это существенно упрощает структуру всей теории, подобно тому, как при рассмотрении проективной геометрии на плоскости добавляется бесконечно удаленная прямая, пересекающая любые две параллельные прямые в некоторой точке.

Выдвинутая Гильбертом программа обоснования математики и его энтузиазм вдохновили современников к интенсивной разработке аксиоматического метода. Именно с разработкой теории доказательств на базе развитого в работах Фреге — Пеано — Рассела логического языка, предпринятой в начале XX века Гильбертом и его последователями, следует связывать становление математической логики как самостоятельной математической дисциплины.

В 1930 году Курт Гёдель доказал теорему о полноте исчисления предикатов, согласно которой множество всех чисто логических утверждений математики совпадает с множеством всех выводимых в исчислении предикатов формул, т. е. исчисление предикатов является той логической системой, на базе которой можно формализовать математику.

Теорема Гёделя о неполноте арифметики (1931) поколебала оптимистические надежды Гильберта на полное решение вопросов оснований математики на указанном им пути. Согласно этой теореме, если формальная система, содержащая арифметику, непротиворечива, то утверждение о ее непротиворечивости выразимо в этой системе, но не может быть доказано средствами, формализуемыми в ней. Это означает, что дело обстоит не так просто, как хотелось или казалось Гильберту. Но уже Гёдель заметил, что непротиворечивость арифметики можно доказывать, пользуясь достаточно надежными конструктивными средствами, хотя и выходящими за рамки средств, формализуемых в арифметике. Аналогичные доказательства непротиворечивости арифметики были получены Г. Генценом и П. С. Новиковым.

Одним из наиболее замечательных достижений математической логики явилась разработка понятия общерекурсивной функции (1934) и формулировка тезиса Чёрча (1936), утверждающего, что понятие рекурсивной функции является уточнением интуитивного понятия алгоритма. По существу вся математика связана с теми или иными алгоритмами. Но только после уточнения понятия алгоритма появилась возможность обнаружить существование неразрешимых алгоритмических проблем в математике. Неразрешимые алгоритмические проблемы были обнаружены во многих разделах математики, причем оказалось, что они могут быть связаны с очень распространенными и фундаментальными понятиями математики. Теперь при постановке новых алгоритмических проблем речь идет прежде всего о существовании искомого алгоритма, а затем уже о его поиске.

Разработка точного понятия алгоритма дала возможность уточнить понятие эффективности и развивать на базе этого конструктивное направление в математике, воплотившее в себе некоторые черты интуиционистского направления, но существенно отличающееся от последнего.

Предложенный Гильбертом и развитый его последователями метод формализации математики оказался полезным не только в исследовании логических проблем оснований математики. Аксиоматический метод оказал большое влияние на развитие многих разделов математики. Особенно значительным было проникновение этого метода в алгебру. Не обошлась без влияния аксиоматического метода и интуиционистская математика. Еще в 1930 году А. Гейтинг ввел в рассмотрение формальную систему интуиционистской логики. Можно также упомянуть формальную систему интуиционистского анализа, предложенную С. К. Клини (см. Клини С., Весли Р. Основания интуиционистской математики. - М.: Наука, 1978).

Естественно, в книге Гильберта и Бернайса не нашли отражения многие крупные результаты, полученные в математической логике и ее приложениях в послевоенное время. Но все эти результаты достаточно полно отражены в более поздних книгах, выпущенных издательствами «Наука» и «Мир» за последние годы. Впрочем, многие из этих книг были написаны под сильным влиянием «Оснований математики» Гильберта и Бернайса. Отличающаяся исключительной глубиной содержания и тщательностью изложения, книга Гильберта и Бернайса до сих пор пользуется Оольшои популярностью среди специалистов. Книга насыщена глубокими идеями, которые не потеряли своей свежести и безусловно будут полезны в будущих исследованиях логических проблем оснований математики. Для широкого круга читателей книга привлекательна тем что в ней основополагающие идеи теории доказательств излагаются в своем первозданном виде, причем

изложение здесь более обстоятельно и менее формализовано, чем где-либо в другом месте. Этим, в частности, объясняется тот факт, что 10 лет назад издательство Шпрингера выпустило второе немецкое издание этой книги.

Вопрос о переводе монографии Гильберта и Бернайса «Основания математики» на русский язык неоднократно возникал еще задолго до выхода ее второго немецкого издания. Однако по разным причинам технического характера эта идея тогда не была реализована.

Настоящий перевод выполнен со второго немецкого издания. В русском переводе мы решили обновить обозначения для кванторов и отрицания, так как используемые авторами обозначения для них сейчас практически не применяются.

В гл. VII мы заменили обозначения некоторых простейших рекурсивных функций новыми символами, которые теперь уже стали стандартными. Также было приведено в соответствие с общепринятым в нашей литературе употреблением некоторых математических терминов. Авторский указатель содержания мы превратили в оглавление, назвав параграфы главами и внеся все рубрики в текст книги. Немногочисленные описки мы исправляли без всяких оговорок. Наконец, по предложению издательства мы добавили подзаголовки для отдельных томов. К сожалению, смерть П. Бернайса, скончавшегося 18 сентября 1977 г., лишила нас возможности сотрудничать с ним при подготовке к печати этого перевода.

Нет сомнений в том, что выход книги Гильберта и Бернайса «Основания математики» на русском языке будет с удовлетворением встречен в нашей стране не только специалистами по математической логике, но также и всеми квалифицированными математиками, которые в той или иной мере интересуются вопросами оснований математики, ролью математики в современной науке, глубокими проблемами, стоящими перед математикой и математиками независимо от их узкой специальности.

Москва, январь 1979 года С. Адян

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Уже несколько лет тому назад ныне покойный Генрих Шольц и господин Ф. К. Шмидт предлагали мне предпринять второе издание «Оснований математики», а господин Г. Хазенъегер на некоторое время приезжал в Цюрих, чтобы оказать мне помощь в этой работе. И уже тогда стало ясно, что включение в книгу многих новых результатов, полученных в области теории доказательств, потребовало бы полной перестройки всей книги. В предлагаемом ныне втором издании, инициатива которого по-прежнему исходит от господина Ф. К. Шмидта, и подавно не может быть речи о том, чтобы изложить все, что было с тех пор достигнуто в теории доказательств. Потребность в этом ощущается в тем меньшей степени, что за прошедшее время появились замечательные учебники, в которых обсуждается теория доказательств и граничащая с ней проблематика.

С другой стороны, некоторые вопросы разобраны в «Основаниях математики» все-таки более обстоятельно, чем это сделано в каком-либо другом месте, что явствует, в частности, и из спроса на эту уже давно распроданную книгу. Ввиду этих обстоятельств нам показалось разумным оставить книгу по существу в ее прежнем виде и внести лишь такие изменения и дополнения, которые находятся в тесной связи с материалом, содержащимся в первом издании.

Было решено также отказаться от изменений в символике и в терминологии. В частности, что касается логической символики. то в ее употреблении все равно нет единства, а переход от одной символики к другой не представляет никаких затруднений. Вводные главы, в которых развивается постановка проблемы, в настоящее издание включены почти без изменений.

Упомянем следующие существенные изменения и дополнения (не считая некоторых исправлений и улучшений частного характера), внесенные в настоящее издание первого тома: 1) в исчислении высказываний более подробно рассмотрена дизъюнктивная нормальная форма; 2) включено изложение данного Г. Хазенъегером ответа на один оставшийся в свое время открытым вопрос, касающийся независимости аксиом системы (В); 3) включено

замечание Г. Крайзела о том, что при изложении теории отношения при помощи рекурсивной функции — не требуется привлечения операции сложения; 4) дополнен материал, касающийся рекурсивного изображения максимума; 5) приведено принадлежащее Сколему формальное доказательство устранимости обобщенной схемы индукции; 6) приведенное в первом издании очень сложное доказательство устранимости -символов заменено более простым доказательством Г. Хазенъегера, основанным на методе Б. Россера; 7) пояснено изложение вопроса о представимости рекурсивных функций в системе

В общем плане книги не произведено никаких изменений. Подробный указатель содержания дает достаточную ориентацию в отношении содержания и основных идей книги. Мы специально обращаем внимание читателя на этот указатель.

Господин Д. Рёддинг из Мюнстера составил именной указатель и расширил предметный, а также добавил систему отсылок в виде подстрочных примечаний, облегчающих чтение книги по частям. Я выражаю ему за это мою искреннюю благодарность.

Господину Гисберту Хазенъегеру и господину Георгу Крайзелу я благодарен за вклад, внесенный ими в это новое издание. В новом доказательстве устранимости -символов использована работа, которую господин Хазенъегер в свое время написал для этой книги.

Я с благодарностью вспоминаю о постоянном деятельном участии Генриха Шольца в работе над этим новым изданием и о том интересе, с которым господин Ф. К. Шмидт неизменно относился к этой работе.

Господина Герта Мюллера я от всего сердца благодарю за его многосторонний вклад в подготовку этого нового издания. Господина Дирка Зифкеса из Гейдельберга я сердечно благодарю за чрезвычайно ценное участие в чтении корректур, а также за внесение дополнений в предметный указатель. Господину Вальтеру Цаугу я чрезвычайно благодарен за помощь при подготовке текста и при чтении корректур.

Издательству Шпрингера я благодарен за его дружеское отношение и в особенности, с учетом прошедшего, за то, что в те тяжелые времена оно сохраняло со мной связь.

Цюрих, август 1968 г. П. Бернайс

ПРЕДИСЛОВИЕ ГИЛЬБЕРТА К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Основные идеи моих исследований по основаниям математики, которые я — основываясь на более ранних попытках — возобновил после 1917 г. в сотрудничестве с П. Бернайсом, обстоятельно изложены мною в различных местах.

К этим исследованиям, в которых участвует также В. Аккерман, с тех пор примкнули и другие математики.

Представленный здесь своею первой частью курс написан Бернайсом и в дальнейшем будет продолжен. Он ставит своей целью изложить эту теорию по ее сегодняшним результатам.

Состояние этих результатов одновременно указывает нам и направление дальнейших исследований в области теории доказательств, ставя в качестве конечной цели установление непротиворечивости всех без исключения применяемых в математике методов.

Имея в виду эту цель, я хотел бы подчеркнуть, что возникшее на определенное время мнение, будто из некоторых недавних результатов Гёделя следует неосуществимость моей теории доказательств, является заблуждением. Этот результат на самом деле показывает только то, что для более глубоких доказательств непротиворечивости финитная точка зрения должна быть использована некоторым более сильным образом, чем это оказалось необходимым при рассмотрении элементарных формализмов.

Гёттинген, март 1934 г Гильберт

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Изложение теории доказательств, выросшей из гильбертовского подхода к рассмотрению логических проблем оснований математики, было обещано Гильбертом уже давно.

Но претворение этого проекта в жизнь задержалась из-за того, что на некоторой стадии, когда работа над рукописью уже была близка к завершению, в теории доказательств в результате опубликования работ Эрбрана и Гёделя возникла совершенно иная ситуация, потребовавшая учета новейших результатов. Объем книги при этом увеличился, так что оказалось целесообразным разбить ее на два тома.

Относительно содержания и основных идей предлагаемого читателю первого тома подробную информацию дает указатель содержания.

Следует особо отметить, что логический формализм развивается в гл. III—IV с самого начала. Изложение его отличается от того, которое принято в книге Гильберта и Аккермана «Основы теоретической логики» (1928), в первую очередь в части, касающейся исчисления высказываний. При дальнейшем построении формализма мы придали, в частности, более точную редакцию правилу подстановки, прежняя формулировка которого была недостаточно четкой.

Специальные предварительные знания в области математики у читателя предполагаются в столь же малой степени, как и в области логики.

В связи с этим читатель, недостаточно знакомый с основаниями геометрии, а может быть, и с основаниями анализа, не должен пугаться ссылок на «Основания геометрии» Гильберта, а также произведенного в гл. II разбора методов анализа. Обе первые главы по существу служат лишь для того, чтобы ввести читателя

в план дальнейшей работы; в то время как систематическое изложение в собственном смысле слова начинается только с третьей главы.

Правда, для чтения гл. VII—VIII желательно известное знакомство с элементами теории чисел.

При написании гл. IV—VII большое содействие своими замечаниями и советами оказали господин Арнольд Шмидт и господин Курт Шютте. Я выражаю им за это мою сердечную благодарность. Господину Арнольду Шмидту я в высшей степени признателен за большую помощь при чтении корректур, а также за разнообразные предложения, которые он внес при этом.

Геттпнген, март 1934 г. П. Вернайс