2. Вывод некоторых формул. Теперь перейдем к выводу некоторых формул исчисления предикатов.

Прежде всего отметим, что ранее нами уже была выведена Формула (1):

Формула (2):

Расщепим эту эквивалентность на две импликации:

достаточно будет вывести обе эти формулы.

(2а) мы получим следующим образом. В формулу (b)

мы подставим вместо ; тогда получится

а отсюда по правилу контрапозиции —

Теперь схема (а) позволяет получить

откуда, еще раз применяя контрапозицию, получаем формулу (2а).

Еще проще получается вывод формулы Из формулы (а)

контрапозицией мы получаем

и схема непосредственно дает нам искомую формулу

Из формулы (2) переходом от правилам замены для эквивалентности мы получим следующую формулу: Формула (2):

Формула (3):

Эту формулу мы получим с использованием формулы (2). Подставим сначала в тождественную формулу

вместо А, в результате чего получится

отсюда по правилу получится

С другой стороны, из формулы (2) подстановкой вместо мы получим

Из этих двух формул по схеме для эквивалентности получается

т. е. формула (3).

Из (3) переходом от получается Формула (3):

Формула (4):

Снова, разложим эту ивалентность на две импликации:

и

Чтобы вывести (4а), подставим в формулу (а) вместо формулу :

Отсюда по правилу мы непосредственно получим (4а). Чтобы получить мы будем исходить из формулы

получающейся из формулы (а) в результате подстановки. Подставив в тождественную формулу

вместо вместо С и применив затем схему заключения, мы получаем

а отсюда по схеме (а) получается формула Формула (5):

Эту формулу мы получим с помощью формулы (4) следующим образом. Из тождественной формулы

мы получим, с одной стороны, подставив вместо В, формулу

а с другой стороны, подставив вместо В и применив правило (б), формулу

Далее, подставив вместо А в формулу (4), мы получим

Три полученные формулы по схеме эквивалентности дают (5). Формула (6):

Снова, эта эквивалентность распадается на две импликации:

и

Чтобы вывести формулу (6а), мы будем исходить из формулы

которая получается подстановкой из формулы Далее, подставим в тождественную формулу

вместо В. Полученная формула вместе с предыдущей по правилу силлогизма дает

С другой стороны, применяя правило к формуле

получающейся подстановкой из тождественной формулы

мы получим формулу

Теперь формула (6а) получается из этих двух формул по схеме для конъюнкции.

Чтобы получить мы будем исходить из формулы

возникающей из формулы (а) в результате подстановки. Воспользовавшись тождественной формулой

мы с помощью схемы заключения получим

а теперь искомая формула может быть получена по схеме Формула (7):

Разложим эту эквивалентность на две импликации:

и

(7а) получается следующим образом: из тождественной формулы

подставив и вместо соответственно и применив правило (б), мы получим формулу

используя тождественную формулу

мы аналогичным образом получим формулу

Эти две формулы по схеме для конъюнкции дают нам формулу (7а).

Для вывода формулы подставим в формулу

вместо вместо В. Тогда получится

Эта формула вместе с формулой (а) по правилу силлогизма дает

Совершенно аналогично получается

Эти две формулы по схеме для конъюнкции дают нам формулу

откуда по схеме (а) получается формула

У каждой из формул (5), (6), (7) для квантора всеобщности имеется ее двойник в виде некоторой формулы для квантора существования. Этот двойник получается из исходной формулы на основе некоторого обобщения двойственности, обнаружившейся ранее в исчислении высказываний.

Составим следующую таблицу двойственности:

Эквивалентность является двойственной по отношению к самой себе.

Эта таблица дает нам следующее соответствие двойственности между формулами и схемами:

Двойственны по отношению к самим себе: правило силлогизма, разложение эквивалентности на две импликации, а также правила

При выводе формул (6) и (7), кроме только что перечисленных формул и правил, используется лишь переход от

У этого перехода также имеется двойственный аналог, а именно переход от

Тем самым, осуществив двойственный перевод выводов формул (6) и (7), мы получим следующие, двойственные им формулы» Формула (8):

Формула (9):

Двойственной по отношению к формуле (5) является Формула (10):

Правда, вывод этой формулы мы не можем получить двойственным переводом вывода формулы (5), так как в нем используется правило для которого у нас нет никакого двойственного аналога. Тем не менее формулу (10) мы можем получить из формулы (5) следующим образом.

Беря отрицание обеих частей формулы (5), мы получаем формулу

Подставим в нее вместо вместо и преобразуем правую часть по правилу замены для отрицания; таким образом мы получим формулу

Из формулы (2) подстановкой мы получим

а из тождественной формулы

подставив вместо В и применив правило (б), получим

объединив обе полученные импликации, мы получим

Далее, из формулы (3) подстановкой вместо мы получим формулу

а отсюда, используя тождественную формулу

получим

Объединив эквивалентности (10а), (10b) и (10c), мы по схеме для эквивалентности получим искомую формулу (10). Формула (11):

При выводе этой формулы мы будем исходить из формулы

которая получается подстановкой в формулу Перестановка посылок дает формулу

а эта формула вместе с формулой (а) по правилу силлогизма дает

Теперь применим правило и еще раз переставим посылки; в результате мы получим формулу (11). Формула (12):

Этот вывод мы снова начнем с формулы

из которой по правилу объединения посылок получается

Эта формула вместе с формулой

получающейся подстановкой из формулы дает нам по правилу силлогизма

откуда по правилам разъединения и перестановки посылок получается

Теперь применим схему переставив еще раз посылки, получим искомую формулу (12).

В формулах, которые мы выводили до сих пор, формульные переменные встречались всегда не более чем с одним аргументом, а фигурировавшие в них кванторы всеобщности и существования всегда стояли отдельно друг от друга. Формулы, следующие далее, будут касаться того случая, когда упомянутые кванторы появляются в паре. Формула (13):

Из обеих импликаций, на которые распадается эта эквивалентность, нужно вывести только одну:

так как вторая получается из нее переименованием связанных переменных и подстановкой вместо Для того чтобы получить (13а), мы будем исходить из формулы

которая получится из формулы если в ней вместо именной формы подставить формулу что даст

а затем здесь надо подставить вместо а, далее, а вместо наконец, переименовать переменную х в у. Применение правила (6) даст нам

Теперь снова подставим а вместо и переименуем в правой части переменную тогда получится

применив схему мы получим формулу

Теперь, чтобы получить (13а), достаточно переименовать переменные в правой части, а именно: сначала х в у, а затем Формула (14):

Как и при выводе формулы (13а), сначала получим формулу

Затем подставим в нее а вместо

Теперь, применив правило (б), получим формулу (14).

Можно построить двойственные переводы выводов формул (13) и (14), и это даст нам следующие две формулы: (Формула 13):

и

(Формула 14):

(Формула 15):

Эту формулу мы получим, воспользовавшись формулой (6); сначала мы переименуем в ее обеих частях х в у:

Теперь подставим вместо А и переставим в правой части члены конъюнкции; это даст нам

а затем, применив правило (6), получим

С другой стороны, из формулы (6), подставляя сначала С вместо А, затем вместо наконец, вместо С, мы получим

откуда, переставив в правой части члены конъюнкции, получим формулу (15а).

Совершенно тем же способом, каким мы вывели формулу (15а), можно вывести формулы, получающиеся из (15а) путем замены кванторов одним из наборов или или а также и те четыре формулы, которые получатся из них, еслп конъюнкцию заменить дизъюнкцией. Для вывода, наряду с формулой (6), необходимо привлечь формулы (10), (5) и (8) и воспользоваться правилом с квантором всеобщности или же с квантором существования, в зависимости от обстоятельств. Все эти восемь формул мы будем называть «формулами

Перечислим — без указания вывода — еще ряд формул:

Наметим также вкратце выводы двух формул, представляющих собой известные аристотелевские фигуры силлогизмов barbara и darii.

Формула (19):

Формула (20):

Для вывода формулы (19) мы будем исходить из тождественной формулы

Подставим в нее вместо вместо вместо затем, применив правило (б), получим

С другой стороны, из формулы (11) подстановкой получается

полученные формулы в сочетании друг с другом дают по правилу силлогизма искомую формулу (19). Совершенно аналогично протекает и вывод формулы (20); единственно лишь вместо использованной выше тождественной формулы нам нужно будет взять другую формулу:

а вместо формулы (11) использовать формулу (12).