4. Изменение ситуации в случае добавления рекурсивных равенств для умножения; система (Z).

Можно было бы думать, что при добавлении новых рекурсивных функций всегда будет повторяться ситуация, аналогичная той, с которой мы встретились при рассмотрении систем и Тем не менее это не так; уже при добавлении функции и ее рекурсивных равенств ситуация оказывается в корне иной. В результате добавления

функции к системе получается следующая система аксиом:

Если мы попытаемся доказать непротиворечивость этой системы нашими прежними методами с помощью процедуры редукции, то заметим, что эти методы здесь уже не применимы. Именно, в случае рассмотренных нами до сих пор формализмов систем и выполнимость процедуры редукции существенным образом основывалась на том, что мы полностью овладевали выразимыми в них арифметическими соотношениями. Метод редукции как раз в том и заключался, что мы осуществляли полный математический контроль над тем фрагментом арифметики, который формализуется рассматриваемой системой. Поэтому и неудивительно, что этот метод позволял нам ответить на любой математический вопрос, формулируемый в рамках этого фрагмента. Но для формализма системы в нашем распоряжении уже не будет такого средства, позволяющего контролировать все выразимые в этом формализме математические соотношения.

Эту мысль можно пояснить на примерах. Рассмотрим формулу

выражающую тот факт, что является простым числом (если число 1 также считать простым). Если мы для краткости обозначим эту формулу посредством то формула

будет изображать утверждение о том, что всякое четное число является суммой двух простых, а формула

соответствует утверждению о том, что за любым числом имеются пары простых чисел с разностью, равной двум. Оба эти утверждения знамениты тем, что вопрос об их справедливости представляет собой нерешенную математическую проблему. Если бы мы располагали процедурой редукции для системы аналогичной

процедурам для предыдущих систем, то в результате, ее применения мы получили бы решение этих проблем.

Заметим, далее, что степень а для любого фиксированного показателя может быть изображена посредством -членного произведения

и если мы воспользуемся записью а как сокращением для этого произведения, то утверждение великой теоремы Ферма для фиксированного показателя степени в формализме системы будет изображаться по редством формулы

Как мы знаем, великая теорема Ферма (для произвольных чисел ) не доказана, а также нет и метода, который позволял бы для любой заданной цифры выяснить, справедливо ли для нее утверждение этой теоремы. Процедура редукции для системы должна была бы дать нам такой метод.

Эта процедура редукции должна была бы отвечать и на произвольный вопрос о разрешимости того или иного диофантова уравнения, иначе говоря, она должна была бы отвечать на любые вопросы, касающиеся разрешимости в положительных целых числах любых алгебраических уравнений с одним или несколькими неизвестными и с целочисленными коэффициентами. Кроме того, с помощью процедуры редукции мы могли бы получить ответ и на вопрос о том, обладает ли данное уравнение «бесконечным числом» решений, а также на вопрос о том, верно ли, что такое уравнение для произвольных значений одного из неизвестных (или соответственно для всех значений, превышающих некоторое заданное число) имеет решение (в остальных неизвестных)

Но все это — вопросы, от решения которых мы в математике очень далеки. Однако нам вовсе не нужно вдаваться в дискуссию по поводу отдельных примеров, так как в дальнейшем получится — этом проявляется существенное отличие системы от ранее рассмотренной системы, — что рассматриваемый нами формализм системы не только позволяет, как мы в этом только что убедились, формулировать те или иные трудные проблемы арифметики, но что он вообще дает нам определенную формализацию всей арифметики. Именно, в этом формализме уже оказываются представимыми все функции, которые вводятся при помощи

рекурсивных равенств, причем даже в том случае, если мы допустим ряд рассматриваемых в рекурсивной арифметике обобщений схемы рекурсии.

Этот материал мы изложим только в следующей главе в связи с рассмотрением понятия «тот, который», так как в этой связи ему может быть придана более точная редакция и более четкий вид.

Пока же мы отметим, что в случае системы метод установления непротиворечивости при помощи процедуры редукции не достигает своей цели. Тем не менее этот метод позволил нам убедиться в непротиворечивости таких систем аксиом, которые не выполнимы в конечном (правда, только при некоторых ограничениях на способы образования понятий). Кроме того, он содействовал установлению того факта, что система аксиом Пеано, если взять за основу исчисление предикатов и аксиомы равенства, оказывается недостаточной для построения арифметики и что добавление к этой системе аксиом рекурсивных равенств для сложения и умножения является существенным расширением формализма; только благодаря такому расширению и проявляется все богатство арифметических отношений.