§ 3. Финитная точка зрения; выход за ее пределы в области арифметики

1. Логическая характеризация финитной точки зрения.

Осуществленное нами рассмотрение начал арифметики и алгебры было предпринято с целью продемонстрировать, как на практике применяются и используются прямые содержательные рассуждения, совершающиеся в виде мысленных экспериментов над наглядно представимыми объектами и не зависящие от предположений аксиоматического характера. Рассуждения такого рода мы для краткости будем называть финитными, а методическую установку, лежащую в основе этих рассуждений, мы будем называть финитной установкой или финитной точкой зрения. В том же самом смысле мы будем говорить о финитных понятиях и утверждениях, подчеркивая всюду словом финитный, что рассматриваемое рассуждение, утверждение или определение придерживается рамок принципиальной представимости объектов и принципиальной выполнимости операций, а тем самым происходит в рамках конкретного рассмотрения.

Чтобы охарактеризовать финитную точку зрения, мы еще должны будем сделать несколько замечаний общего характера по поводу типов логических суждений, употребляемых в финитном мышлении. При этом для конкретности мы ограничимся высказываниями о цифрах.

Всеобщее суждение о цифрах финитно может быть истолковано лишь в гипотетическом смысле, т. е. как высказывание о произвольной заданной цифре. Такое суждение провозглашает некоторый закон, который должен подтверждаться в каждом конкретном случае.

Экзистенциальное утверждение о цифрах, т. е. утверждение вида «существует цифра обладающая свойством с финитной точки зрения рассматривается как «частичное суждение», т. е. как неполное сообщение о некотором более полном высказывании, заключающемся либо в прямом указании некоторой цифры, обладающей свойством либо в указании способа построения такой цифры, причем в задание способа входит и указание определенной границы для числа подлежащих выполнению действий.

Те суждения, в которых всеобщее высказывание сочетается с экзистенциальным, финитно должны истолковываться

соответственным образом. Так, например, суждение вида «для всякой цифры обладающей свойством существует цифра I, для которой имеет место финитно должно рассматриваться как неполное сообщение о некотором способе, который всякой цифры обладающей свойством позволяет находить цифру 1, которая находится к в отношении

Особой осмотрительности требует применение отрицания.

Оно не представляет проблемы в случае элементарного суждения, т. е. суждения, касающегося вопроса, который может быть разрешен путем прямой наглядной констатации («узрения»). Например, если и I — вполне определенные цифры, то можно непосредственно установить, справедливо ли равенство

т. е. совпадают ли цифры

Отрицание такого элементарного суждения попросту означает, что результат соответствующей наглядной проверки отличается от того, что утверждается в суждении; для элементарного суждения всегда имеет место альтернатива, заключающаяся в том, что либо справедливо оно само, либо его отрицание.

Напротив, для всеобщего и для экзистенциального суждения без специальных разъяснений не ясно, что именно должно считаться его отрицанием в финитном смысле.

Рассмотрим сначала экзистенциальные высказывания. То. что не существует цифры обладающей свойством можно было бы в нестрогом смысле слова понять как констатацию того факта, что у нас нет в распоряжении цифры с этим свойством. Однако такая констатация, ввиду ее соотнесенности со случайным состоянием наших знаний, не имела бы никакого объективного смысла. Если мы хотим, чтобы несуществование цифры обладающей свойством утверждалось независимо от состояния наших знаний, то в финитном смысле это может быть осуществлено лишь посредством некоторого утверждения о невозможности, т. е. утверждения, выражающего тот факт, что никакая цифра не может обладать свойством

Так мы пришли к усиленному отрицанию; однако это последнее не является точной контрадикторной противоположностью экзистенциального утверждения «существует цифра со свойством которое, будучи частичным суждением, содержит в себе ссылку на некоторую определенную цифру, обладающую этим свойстеом, или же на способ, которым мы располагаем для построения такой цифры.

Экзистенциальное высказывание и его усиленное отрицание не являются, как это имеет место в случае элементарного высказывания и его отрицания, высказываниями о двух единственно возможных исходах одного и того же акта проверки, а

соответствуют двум оторванным друг от друга возможностям, именно — нахождению, с одной стороны, некоторой цифры с заданным свойством и установлению, с другой стороны, некоторого общего закона, касающегося цифр.

То, что одна из этих двух возможностей непременно должна осуществиться, логически абсолютно само собой не разумеется. Поэтому с финитной точки зрения мы не можем пользоваться альтернативой, утверждающей, что либо существует цифра для которой справедливо, либо что справедливость исключается для любой цифры

Подобным же образом обстоит дело и с финитным отрицанием всеобщего суждения, т. е. суждения вида «для каждой цифры имеет место Отрицание справедливости такого суждения само по себе непосредственного финитного смысла не имеет. Если же это отрицание усилить до утверждения, что тождественная истиннорть может быть опровергнута контрпримером, то это усиленное отрицание не будет являться контрадикторной противоположностью рассматриваемого всеобщего суждения; действительно, в этом случае снова абсолютно само собой не разумеется, что либо должно иметь место всеобщее суждение, либо его усиленное отрицание, т. е. что либо должно иметь место для любой заданной цифры либо что можно указать такую цифру, для которой места не имеет.

Разумеется, надо заметить, что построение контрпримера не является единственной возможностью опровергнуть всеобщее суждение. Другой способ мог бы заключаться в попытке вывести из рассматриваемого всеобщего суждения какое-либо противоречие. Такой подход тоже не устранил бы упомянутой трудности — пожалуй, вследствие такого подхода осложнения скорее возросли бы. В самом деле, альтернатива, заключающаяся в том, что всеобщее суждение о цифрах должно либо иметь место, либо вести к противоречию и, значит, быть опровержимым, не является логически очевидной. Кроме того, абсолютно само собой не разумеется, что всякое такое суждение в случае опровержимости должно опровергаться при помощи контрпримера.

Сложная ситуация, с которой мы здесь столкнулись при обсуждении в рамках финитной точки зрения вопроса об отрицании суждений, соответствует тезису Брауэра о неприемлемости закона исключенного третьего в применении к бесконечным совокупностям. Действительно, в рамках финитной точки зрения эта неприемлемость имеет место постольку, поскольку для экзистенциальных и всеобщих суждений не удается найти отрицания, имеющего финитный смысл и удовлетворяющего закону исключенного третьего.

Сказанного, пожалуй, достаточно для характеризации финитной точки зрения. Если мы теперь обратимся к анализу в его традиционном изложении с целью выяснить, соответствует ли он

точке зрения такой методики, то мы заметим, что это не так, что принятые в анализе способы рассуждений и образования понятий самыми различными способами выходят за рамки финитных рассмотрений.