2. Законы арифметических действий; полная индукция; умножение; делимость; простые числа.

Теперь мы покажем, что для такой наглядным образом определенной операции сложения выполняются обычные арифметические законы.

Эти законы мы будем рассматривать как утверждения о произвольных заданных цифрах и, в качестве таковых, будем устанавливать их с помощью наглядных рассуждений.

Непосредственно из определения сложения может быть извлечен закон ассоциативности, согласно которому для произвольных цифр с имеет место равенство

Закон коммутативности, который гласит, что для любых

получается не столь прямо. Для его доказательства мы воспользуемся методом полной индукции. Прежде всего давайте уясним себе, как этот способ умозаключений должен пониматься с позиций нашей элементарной точки зрения. Допустим, что мы рассматриваем некоторое высказывание, относящееся к произвольной цифре и имеющее элементарно наглядное содержание. Пусть это высказывание верно для цифры 1, и пусть известно также, что всякий раз, когда оно верно для какой-либо цифры оно верно также и для цифры Тогда отсюда мы делаем вывод, что рассматриваемое высказывание верно для любой заданной цифры а.

Действительно, а строится, начиная с цифры 1, путем ряда последовательных присоединений этой цифры. Раз мы констатировали, что рассматриваемое высказывание верно для цифры 1 и что при каждом присоединении этой цифры оно, в силу сделанного предположения, оказывается верным и для вновь полученной цифры, то в момент завершения построения а мы придем к выводу о том, что это высказывание верно также и для а.

Таким образом, мы имеем здесь дело не с каким-либо самостоятельным принципом, а лишь с некоторым следствием, извлекаемым нами из того факта, что построение цифр производится определенным конкретным способом.

С помощью этого способа умозаключений мы теперь обычным образом можем показать, что для любой цифры а

и, далее, на основании этого, что всегда справедливо равенство

Теперь рассмотрим вкратце вопрос о введении умножения, деления и непосредственно связанных с ними понятий.

Умножение может быть определено следующим образом: означает цифру, которая получается из цифры замещением в процессе ее построения каждой цифры 1 цифрой а, так что сначала мы изготавливаем цифру а, а затем при построении всякий раз вместо присоединения 1 производим присоединение а.

Из этого определения умножения непосредственно получается закон ассоциативности, а затем и дистрибутивности, согласно которому для любых

Второй закон дистрибутивности, согласно которому всегда имеет место равенство

может быть выведен из законов для сложения с помощью описанного выше метода полной индукции. С помощью этого метода может быть также установлен и закон коммутативности умножения.

Чтобы определить деление, мы должны будем осуществить некоторые предварительные рассмотрения. Построение любой цифры по своему характеру таково, что при очередном навешивании 1 всегда получается некоторая новая цифра. Таким образом, построение какой-либо цифры а осуществляется нами путем построения конкретного ряда цифр, который начинается цифрой 1, оканчивается цифрой котором каждая цифра получается из предыдущей приписыванием 1. Отсюда немедленно видно, что кроме самого а этот ряд содержит лишь цифры, меньшие а, и что всякая цифра, меньшая а, встречается в этом ряду. Для краткости мы будем называть эту последовательность цифр рядом цифр от 1 до а.

Пусть теперь отличная от 1 цифра такая, что Тогда имеет вид с и потому

Следовательно,

Теперь умножим последовательно на цифры из ряда от 1 до Тогда в полученном ряде цифр

первая меньше , а последняя больше а. Будем идти по этому ряду до тех пор, пока впервые не встретим такую цифру, которая больше а; тогда предыдущая цифра — пусть это будет либо равна а, либо меньше а, в то время как

Тем самым либо

либо а представляется в виде

причем

так что

В первом случае а делится на во втором случае имеет место деление с остатком.

Вообще, мы говорим, что а делится на если среди цифр ряда

встречается цифра а. Это определение будет годиться и для случая и для случая и для только что рассмотренного нами случая.

Из определения делимости непосредственно следует, что если а делится на то установление факта делимости одновременно дает и представление а в виде

Верно, однако, и обратное: из равенства

следует, что (в определенном выше смысле) а делится на так как цифра содержится среди цифр от 1 до а.

Пусть и пусть среди цифр от 1 до а не встречается ни одного делителя а, за исключением 1 и а, так что любое произведение где принадлежат ряду цифр от 2 до а, отлично от а. Тогда мы называем а простым числом.

Пусть цифра, отличная от 1. Тогда среди цифр 1 от до и обязательно найдется первая, отличная от 1 и являющаяся делителем Относительно этого наименьшего отличного от 1 делителя легко показать, что он является простым числом.

Теперь мы уже можем методом Евклида доказать теорему о том, что для любой цифры а может быть указано простое число, большее а. Действительно, перемножим все цифры ряда от 1 до а, прибавим к этому 1 и возьмем у полученной таким образом цифры наименьший отличный от 1 делитель Он является простым числом. Легко также установить, что не может встречаться среди чисел от 1 до а. Тем самым