§ 5. Возврат к рассмотренному в § 2 способу формализации вывода; сокращенные правила; замечание, касающееся противоречивости системы

На этом мы хотели бы закончить рассмотрение дедуктивной (аксиоматической) логики высказываний. Наше изложение этого предмета никоим образом не претендует на полноту. Оно преследует всего лишь скромную цель — дать некоторое представление о том, как много стимулирующих проблем и систематических идей кроется в дедуктивной логике высказываний.

В наших целях формализации процесса вывода мы воспользуемся логикой высказываний не в аксиоматическом виде, а в виде теории истинностных функций, построенной нами в начале этой главы. Это будет сделано описанным ранее образом: в качестве исходных формул мы будем брать, с одной стороны, тождественно истинные выражения, а с другой — определенные, записанные в виде формул гипотезы; дальнейшие же формулы мы будем затем рыводить с помощью подстановок и схем заключения.

Некоторые часто встречающиеся переходы будет полезно зафиксировать в виде специальных правил. Получающееся таким образом исчисление, которое мы снова будем называть исчислением высказываний, содержит в себе то исчисление высказываний, т. е. применение правил замены 1 - 4, которое было построено нами ранее.

Действительно, если какое-либо выражение заменимо в соответствии с этими правилами выражением , то обе импликации являются тождественно истинными; а тогда каждую из них можно будет взять в качестве исходной формулы и тем самым мы получим возможность производить — с помощью схемы заключения — переходы от к и соответственно от к

Поэтому над любой встретившейся в процессе формального вывода формулой мы можем производить любые преобразования, разрешенные правилами замены.

Ниже мы особо отметим некоторые важные преобразования, полученные таким образом. Как мы установили, заменимо посредством а также . Поэтому в любой импликации вида

мы можем поменять местами посылки, так что получится

Далее, обе эти посылки мы можем соединить конъюнкцией в одну, так что получится

И обратно, от формулы

с конъюнкцией в посылке мы можем перейти к формуле

с последовательными посылками и в импликации.

Переход от называется правилом соединения посылок, а обратный переход — правилом разъединения посылок.

Операции перестановки, соединения и разъединения посылок могут быть распространены и на многочленные импликации, а также и на многочленные конъюнкции в посылке. Так, мы можем перейти от выражения

к

а также к

и к

Разумеется, эти переходы могут быть выполнены и в обратном направлении.

Очень часто употребляется взаимная заменимость выражений и

а также

Поэтому мы можем переходить от

и обратно; далее, от

и от

Эти переходы — по аналогии с соответствующими способами содержательных умозаключений — мы назовем контрапоаициями. Далее отметим, что в силу заменимости выражений

дважды повторяющаяся посылка импликации может быть один раз опущена.

Для эквивалентности имеют место следующие заменимости: посредством посредством посредством

Кроме указанных преобразований, которые основываются на (двусторонней) заменимости одного выражения другим, логика высказываний доставляет в наше распоряжение и такие переходы, которые не являются обратимыми.

Примером может служить добавление произвольной посылки в импликации: если у нас уже имеется формула и если 85 есть произвольное выражение, то мы можем получить

подставив в тождественно истинное выражение

вместо вместо В и применив к полученной таким образом формуле

к формуле схему заключения.

Добавление посылки в импликации равносильно применению ранее уже упоминавшейся схемы

Аналогично тому, как из рассмотрения тождественно истинного выражения

мы извлекли некоторое правило формального умозаключения, такого же рода правила мы можем извлечь и из других тождественно истинных выражений.

Особенно важным правилом этого рода является правило силлогизма: если у нас имеются две формулы

то мы можем вывести из них

Действительно, для этого требуется подставить в тождественно истинное выражение

вместо вместо вместо С, а затем дважды воспользоваться схемой заключения

Тождественно истинные выражения

доставляют нам следующие правила, касающиеся конъюнкции и дизъюнкции:

из двух формул можно получить

из двух формул можно получить

Эти два правила равносильны ранее рассмотренным схемам

Что касается эквивалентности, то здесь имеется правило, согласно которому две импликации

можно объединить в эквивалентность иначе говоря, эту эквивалентность можно вывести из упомянутых двух импликаций; с другой стороны, из нее можно вывести обе эти импликации. Это вытекает из заменимости

Объединяя это правило с правилом силлогизма, мы получаем правило транзитивности эквивалентности:

равным образом, на основании симметрии и транзитивности эквивалентности

Эти два перехода мы назовем схемой эквивалентности.

В связи с проведенным рассмотрением этого формализма выводов, строящегося на базе теории истинностных функций, следует сделать еще одно важное в принципиальном отношении замечание. Если в качестве исходных формул мы будем использовать только тождественно истинные выражения, то можно быть вполне уверенным, что в числе выводимых формул не окажется никакое выражение вместе со своим отрицанием Однако это вполне может произойти, если в качестве исходных формул кроме тождественно истинных выражений мы будем брать еще и какие-нибудь формализованные посылки. Если в результате добавления таких посылок какая-либо формула окажется выводимой вместе со своим отрицанием то мы будем говорить, что эти посылки ведут к противоречию. Если такой случай действительно будет иметь место, то тогда окажется выводимой вообще любая формула, которая может быть подставлена вместо переменных

В самом деле, пусть формула такого рода. Возьмем тождественно истинное выражение Подставим в него вместо А формулу а вместо В формулу Тогда получится

Так как по нашему предположению выводимы, то двукратным применением схемы заключения мы сможем из этой формулы получить формулу

Поэтому, если о какой-нибудь системе посылок мы знаем, что с их использованием не может быть выведена некоторая формула которая может быть значением переменных то тем самым мы можем быть уверены, что рассматриваемые посылки вообще не могут привести ни к какому противоречию.

Это замечание мы впоследствии используем в ряде доказательств непротиворечивости.