2. Верхняя грань числовой последовательности; верхняя грань множества чисел.

И все-таки в анализе мы не можем обойтись одним использованием совокупности целых чисел в качестве индивидной области. Нам требуется сверх этого рассматривать в качестве индивидной области и совокупность действительных чисел. Как мы видели, эта совокупность по существу может быть отождествлена с совокупностью множеств целых чисел.

Необходимость в индивидной области действительных чисел ощущается уже при доказательстве теоремы о существовании верхней грани произвольного ограниченного множества действительных чисел. Для того чтобы, исходя из дедекиндова определения действительного числа, доказать существование верхней грани ограниченного множества действительных чисел, лежащего в промежутке между и 1, надо рассмотреть разбиение рациональных чисел на те числа, которые мажорируются хотя бы одним действительным числом этого множества, и на те, которые не мажорируются ни одним из них. Таким образом, рациональное число мы относим к первому классу тогда и только тогда, когда в рассматриваемом множестве имеется действительное число а, большее

Теперь надо отдать себе отчет в том, что множество в анализе, вообще говоря, задается путем указания свойства, определяющего это множество, т. е. вводится как совокупность тех действительных чисел, которые удовлетворяют определенному условию Таким образом, вопрос о том, имеется ли в каком-либо рассматриваемом нами множестве действительное число а, большее сводится к тому, имеется ли действительное число, которое превосходит и одновременно удовлетворяет некоторому определенному условию . Еслп к делу подойтп с такой стороны, то становится ясно, что в основу рассмотрения мы кладем в качестве индивидной области совокупность действительных чисел

Следует еще заметить, что описанный процесс нахождения верхней грани сводится к образованию объединения множеств. В самом деле, каждое действительное число определяется некоторым сечением в области рациональных чисел (например, нижним классом сечения). Поэтому данное нам множество действительных чисел представляется в виде некоторого множества множеств рациональных чисел. Верхняя грань множества строится с помощью множества тех рациональных чисел, которые принадлежат по меньшей мере одному из множеств, входящих в Но совокупность этих рациональных чисел как раз является объединением множеств, входящих в

Не удается также избежать привлечения индивидной области действительных чисел и путем замены дедекиндова определения действительных чисел определением через фундаментальные последовательности или через двоичные дроби. Напротив, здесь этот процесс становится еще более сложным вследствие добавления некоторой дополнительной рекурсии. Рассмотрим вкратце ситуацию для того случая, когда действительные числа определяются через двоичные дроби. В этом случае нам приходится иметь дело с множеством двоичных дробен

которые сами по себе определяются посредством некоторого определенного условия . Верхняя грань представляет собой двоичную дробь

которая определяется следующим образом:

если у всех двоичных дробей, удовлетворяющих условию , первый двоичный разряд равен 0, а в противном случае

если у всех двоичных дробей, удовлетворяющих условию и таких, что их первые двоичных разрядов совпадают с разряд равен 0, а в противном случае

Здесь совокупность действительных чисел выступает в виде совокупности всех двоичных дробей, и мы пользуемся предположением о том, что для этих построенных из нулей и единиц последовательностей справедлив «tertium non datur».