2. «Tertium non datur» для целых чисел; принцип наименьшего числа.

Выход за рамки финитной точки зрения присутствует уже в способах умозаключений, применяемых в арифметике. Действительно, высказывания о существовании целых чисел [в обычной математике вместо цифр мы говорим оцелых числах (точнее, положительных целых числах или, для краткости, числах)] здесь допускаются независимо от возможности фактического построения соответствующих чисел. Кроме того, относительно любого всеобщего высказывания о целых числах предполагается, что либо оно справедливо для всех чисел, либо что существует число, для которого это высказывание места не имеет.

Эта альтернатива, «lertium non datur» для целых чисел, неявно используется также и впринципе наименьшего чисел а, который гласит, что если некоторое высказывание о целых числах имеет место хотя бы для одного числа, то существует и наименьшее число, для которого это высказывание имеет место.

Принцип наименьшего числа в своих элементарных применениях носит финитный характер. Действительно, рассмотрим высказывание о произвольном числе Пусть некоторое конкретное число, для которого имеет место Просмотрим последовательно числа от 1 до Тогда мы должны будем найти первое такое число для которого верно, так как самое позднее таким числом является Это число и является наименьшим числом со свойством .

Это рассуждение базируется на двух предпосылках, которые в случае неэлементарных применений принципа наименьшего числа выполняются далеко не всегда. Во-первых, мы предположили, что справедливость высказывания для некоторого числа имеет место в том смысле, что нам действительно указано некоторое число со свойством в то время как в неэлементарных ситуациях о существовании числа со свойством зачастую можно заключить лишь при помощи «tertium non datur», без фактического указания такого числа. Второе предположение заключается в том, что для любого числа из ряда чисел от 1 до можно выяснить, имеет ли место . В случае элементарного высказывания

возможность такой проверки имеется, конечно, всегда. Однако, если является неэлементарным высказыванием, вопрос о том, имеет ли оно место для данного числа может представлять собой нерешенную проблему.

Пусть, например, функция, определенная рядом последовательных рекурсий и подстановок в том виде, как мы их допускаем в финитной арифметике, и пусть означает высказывание о том, что существует число а, для которого Тогда для заданного числа на вопрос о том, имеет ли место в общем случае (т. е. если функция не является особенно простой) нельзя ответить путем прямого рассмотрения ситуации; такой вопрос скорее носит характер математической проблемы. В самом деле, рекурсии, встречающиеся в определении дают нам значения этой функции только для заданных значений аргумента, в то время как в вопросе о том, имеется ли число а, для которого имеет значение , речь идет о всем пробеге значений функции

Таким образом, во всех тех случаях, где упомянутые предпосылки финитного обоснования принципа наименьшего числа не выполняются, для обоснования этого принципа приходится привлекать «tertium non datur».

Приведем несколько примеров альтернатив из области арифметики, которые получаются при помощи «tertium non datur» для целых чисел, но не могут быть выяснены финитно при нынешнем состоянии наших знаний.

1. Либо всякое четное число, большее двух, представимо в виде суммы двух простых чисел, либо существует четное число, большее двух, непредставимое в виде суммы двух простых чисел.

2. Либо всякое целое число вида при разлагается на два множителя, большие 1, либо имеется простое число вида

3. Либо всякое достаточно большое целое число представимо в виде суммы менее 8 кубов, либо для каждого целого числа имеется большее целое число которое не представимо в виде суммы менее 8 кубов.

4. Либо существуют сколь угодно большие простые числа обладающие тем свойством, что также является простым числом, либо имеется наибольшее простое число с этим свойством.

5. Либо для всякого целого числа и для произвольных положительных целых чисел с равенство места не имеет, либо имеется такое наименьшее целое число для которого уравнение разрешимо в положительных целых числах.

Такого рода примеры из области арифметики годятся для того, чтобы мы могли уяснить себе простейшие формы нефинитной аргументации. И все-таки в арифметике потребность в выходе за пределы финитной точки зрения на самом деле не является такой уж ощутимой; действительно, едва ли можно указать такое выполненное в рамках арифметики доказательство, в котором нельзя было бы при помощи сравнительно легких модификаций обойтись без применения нефинитных способов умозаключений.