3. Позитивная логика; регулярные импликативные формулы; позитивно тождественные импликативные формулы; возможные упрощения.

Характеризуя эту систему формул , заметим, что она устроена таким образом, что в формулах первой группы из логических связок встречается только импликация, а в последующих группах — только импликация и связка, вводимая этой группой.

В выборе этих формул существенную роль играет то, что посредством формул групп из области общей логики высказываний вычленяется так называемая позитивная логика, представляющая собой формализацию тех способов логических умозаключений, которые не зависят от предположения о том, что для всякого высказывания имеется ему противоположное.

Этому вычленению позитивной логики способствует то обстоятельство, что группа формул I содержит лишь такие формулы, которые соответствуют правилам гипотетических умозаключений. Способ, которым формулы группы I выделены нами из числа остальных, может быть уточнен вполне математически.

С этой целью мы введем понятие регулярной импликативной формулы. Выражение, построенное из переменных с помощью одной только импликации, мы будем называть импликативной формулой. Импликативную формулу вида

построенную из выражений которых посылка каждой импликации состоит из одной лишь переменной, мы будем называть регулярной импликативной формулой, если либо само встречается среди выражений либо может быть выведено из них путем применения схемы заключения (но без подстановок).

Так, например, все три формулы группы I являются регулярными импликативными формулами. В случае формулы

этот факт очевиден непосредственно. Формула

имеет вид где в качестве фигурируют выражения

но В может быть получено из двукратным применением схемы заключения. Формула

имеет вид где в качестве фигурируют выражения

С может быть выведено из

двукратным применением схемы заключения.

Импликативная формула будет называться позитивно тождественной, если она либо является регулярной, либо получается из регулярной формулы путем подстановки, либо получается из уже полученных таким образом формул с помощью схемы заключения.

Например, по этому определению, формула

является позитивно тождественной импликативной формулой; действительно, она получается с помощью схемы заключения из формул

первая из которых является регулярной импликативной формулой, а вторая получается из регулярной импликативной формулы

с помощью подстановки.

Таким образом, понятие позитивно тождественной импликативной формулы определяется без привлечения каких-либо специальных исходных формул, с учетом одних только правил вывода. Можно показать, что совокупность позитивно тождественных импликативных формул совпадает с совокупностью тех тождественно истинных выражений, которые могут быть выведены из формул группы I с помощью подстановок и схем заключения.

Однако эта совокупность не содержит в себе все тождественно истинные импликативные формулы. Наоборот, среди тождественно истинных импликативных формул имеются и такие, которые не являются позитивно тождественными, например,

Относительно этой формулы можно показать что она не выводится из формул группы I с помощью указанных двух правил. Однако, если эту формулу взять в качестве исходной вместе с формулами I 1) и I 3), то этого уже будет достаточно для того, чтобы с помощью подстановок и схем заключения можно было получить все тождественно истинные импликативные формулы.

Что касается совокупности позитивно тождественных импликативных формул, то для них в качестве исходных формул достаточно взять следующие регулярные импликативные формулы:

Вторая из них может быть выведена из следующих трех формул:

Таким образом, мы пришли к системе исходных формул, которая состоит из следующих четырех: также

В этой системе, как показал Лукасевич, обе последние формулы могут быть заменены одной формулой I 3), что и приводит нас к системе

Наша система формул устроена таким образом, что если исключить из нее формулу , т. е. формулу

то выводимыми окажутся лишь такие импликативные формулы, которые являются позитивно тождественными.

Далее, наша система формул обладает тем свойством, что каждая из ее формул независима от всех остальных, т.е. из всех остальных не выводится.

Однако даже небольшие изменения этой системы могут способствовать возникновению различных зависимостей. Например, если мы заменим третью из формул для конъюнкции II 3) следующей, более простой формулой:

то формула I 1) окажется выводимой из формул и формул для конъюнкции. Если вместо формулы :

взять формулу

то формула I 2) окажется выводимой из формул и формул для отрицания.

Вообще, в направлении уменьшения числа формул наша система может быть усовершенствована самыми различными способами

Так, например, вместо системы, состоящей из наших шести формул достаточно взять систему из трех формул:

а также систему

Обе эти системы были предложены Лукасевичем, причем им было установлено, что обе они достаточны для того, чтобы можно было вывести все тождественно истинные выражения, построенные с помощью импликации и отрицания.

Следует также отметить, что формулы фигурируют в уже упоминавшейся системе Фреге в качестве исходных формул рассмотренного им дедуктивного исчисления высказываний 1).