4. Одно доказательство невозможности.
В качестве примера, показывающего, что в рамках наглядной арифметики можно
проводить и доказательства невозможности, рассмотрим следующее утверждение, выражающее иррациональность числа 
: не может существовать двух цифр 
таких, что
Доказательство этого утверждения, как известно, может быть проведено следующим способом. Сначала мы показываем, что всякая цифра либо делится на 2, либо представляется в виде 
Отсюда следует, что 
лишь тогда может делиться на 2, когда на 2 делится само а.
Пусть теперь задана пара чисел 
таких, что выполняется приведенное выше равенство. Тогда мы можем просмотреть все числовые пары 
такие, что
и выяснить, выполняется ли для них равенство
Среди пар, удовлетворяющих этому равенству, мы берем такую, у которой 
имеет наименьшее значение. Такая пара может существовать только одна; пусть это будет пара 
Согласно сделанному ранее замечанию, из равенства
следует, что 
делится на 2:
Таким образом, мы получаем
Отсюда следует, что пара чисел 
удовлетворяет нашему равенству и одновременно 
Однако это противоречит выбору 
Только что доказанной теореме можно, конечно, придать следующий положительный вид: если 
две произвольные цифры, то 
отлично от 
