2. Применение аксиом равенства к различным преобразованиям, в частности к преобразованиям для оценок числа элементов в индивидной области; количественные формулы.

Еще одно применение формул заключается в том, что с их помощью могут быть произведены преобразования, которым с содержательной точки зрения соответствует трактовка единичного суждения как частного случая всеобщего суждения, с одной стороны, и экзистенциального суждения — с другой.

Эквивалентности, на которых основываются эти преобразования, записываются в виде формул

Вывод формулы 6а)), согласно схеме эквивалентности, сводится к выводу двух импликаций:

Первую из них можно получить, отправляясь от [ранее выведенной из ] формулы

из которой перестановкой посылок можно получить

затем надо применить правило (а) и подставить а вместо Обратная импликация

получается следующим образом. Сначала из формулы (а) подстановкой получаем

Затем, в результате перестановки посылок и применения схемы заключения эта формула с учетом дает нам желаемую формулу.

Перейти от проще всего следующим образом: взять от обеих частей эквивалентности отрицание, затем подставить вместо и снять двойные отрицания.

Если в правых частях формул равенство заменить его отрицанием то получающиеся выражения

не будут больше допускать такого простого преобразования, исключающего из них равенство и связанные переменные; но все же они могут быть переведены в выражения, построенные с помощью связок исчисления высказываний из элементарной формулы и из таких формул, в которых переменная а не встречается и которые соответствуют некоторым утверждениям о нижней оценке для числа индивидов со свойством А или о верхней оценке для числа индивидов со свойством

Действительно, имеют место эквивалентности

и

и их правые части на самом деле обладают указанным свойством. Формулы

соответствуют высказываниям:

«Не существует ни одного индивида, обладающего свойством ».

«Существует не более одного индивида, обладающего свойством

«Существует не менее одного индивида, обладающего свойством

«Существует не менее двух индивидов, обладающих свойством

Что касается вывода этих формул, то получается из способом, аналогичным тому, каким была получена из путем взятия отрицания у обеих частей и последующей подстановкой вместо Таким образом, нам будет достаточно вывести одну только формулу . Вывод ее оказывается довольно длинным, и мы наметим его только в основных чертах. Формула имеет вид

Если мы расщепим эту эквивалентность на две импликации, а затем применим схемы конъюнкции и дизъюнкции и закон дистрибутивности, то убедимся, что нам достаточно вывести следующие четыре формулы:

Первая из них может быть преобразована в

вторая выводится из

а четвертая может быть преобразована в

Таким образом, наша задача сводится к выводу следующих четырех формул:

т. е., в подробной записи, к выводу формул

Из этих формул две последние легко могут быть получены средствами исчисления предикатов. Действительно, третья формула получается в результате подстановки из следующей, легко выводимой формулы:

а четвертая применением правила и тождественной формулы

[в сочетании с правилом может быть преобразована в формулу

которая получается подстановкой из выводимой формулы

Что касается вывода первых двух формул, то он протекает с существенным использованием формул для равенства.

Первая из них с помощью формулы переводится в формулу

которая получается в результате подстановки из выводимой в исчислении предикатов формулы

Вторая формула

может быть выведена по правилам исчисления предикатов из формулы

а вывод этой формулы можно средствами исчисления высказываний свести к выводу формулы

Но эта последняя получается подстановкой из формулы .

Из формул мы можем получить еще две замечательные формулы.

Если в формуле переименовать переменную у в в у и затем применить правило для квантора существования

в сочетании с правилом то получится формула

В правой части этой эквивалентности мы можем снова переименовать ; кроме того, мы можем преобразовать в Полученную таким образом формулу мы можем, применяя уже использованные ранее обозначения представить в виде

По правилам исчисления высказываний,

можно заменить формулой

Далее, мы установили, что формулы

являются выводимыми формулами. Следовательно, выводима и формула а потому переводима в . Тем самым мы получаем формулу

т. е.

Тем же самым способом, каким мы перешли от мы, исходя из 8а)), получим формулу

Значение этих формул заключается в том, что с их помощью могут быть переведены друг в друга различные представления условий, налагаемых на количество элементов в индивидной области. В самом деле, обе части эквивалентности соответствуют высказыванию о том, что имеется не более одного индивида со свойством а обе части высказыванию о том, что имеется не менее двух индивидов со свойством А.

Совершенно аналогичные преобразования могут быть произведены и для большего числа индивидов. Схема формул, представляющих собой обобщения формул на случай

большего числа индивидов, выглядит следующим образом:

Здесь в левых частях эквивалентностей вместо одной фигурирующей в формулах переменной х, которая в связывалась квантором существования, а в квантором всеобщности, появились переменные

которые в связаны кванторами существования, а в кванторами всеобщности и на которые распространяется конъюнкция

В правых частях этих эквивалентностей вместо двух фигурирующих в формулах переменных х и у стоят переменные

связанные в кванторами всеобщности, а в кванторами существования; на эти переменные в распространяется дизъюнкция

в конъюнкция

и в конъюнкция

распространяется на пары, состоящие из двух различных между собой переменных Кроме того, в формулах импликации можно превратить в дизъюнкции; тогда мы получим формулы

которые двойственны соответствующим формулам

Для правых частей этих эквивалентностей мы введем сокращенное обозначение. Пусть число переменных, образующих набор

Посредством

мы будем обозначать выражение

а посредством

— выражение

Эти обозначения имеют смысл для

Содержательно формула

выражает тот факт, что имеется по меньшей мере различных индивидов, для которых выполняется а

говорит о том, что не выполняется самое большее для индивида, т. е. выполняется для всех индивидов, за исключением не более чем из них.

Пользуясь правилом для образования отрицания можно получить следующие эквивалентности:

Далее, для любого конкретного числа легко вывести формулы

а также формулы

Справедливость всех этих формул легко также усмотреть с точки зрения их содержательного смысла.

С помощью введенных сокращений формулы записываются следующим образом:

где представляет собой число переменных

Мы не будем заниматься здесь выводом формул так как это было бы кропотливым делом, не дающим ничего принципиально нового.

Способом, подобным тому, которым формулы были обобщены до формул могут быть обобщены и формулы Эквивалентности, представляющие собой это обобщение, дадут нам некоторое преобразование формул вида

и

(здесь вместо выражения фигурирующего в формулах , появляется конъюнкция, состоящая из нескольких выражений такого рода, а вместо одной свободной переменной а появляется несколько таких переменных ).

Мы приведем соответствующие формулы для случая трех свободных переменных После введенных сокращений формула, аналогичная формуле 7а)), будет иметь вид

а формула, аналогичная формуле запишется в виде

Если импликации, встречающиеся в этих формулах, выразить через конъюнкцию и отрицание, а затем применить правило

взятия отрицания, то получатся следующие эквивалентности:

Легко убедиться, что обе эти формулы двойственны друг другу.

По виду этих формул можно без труда сообразить, какой вид будут иметь соответствующие эквивалентности для любой фигурирующей вместо переменных и с последовательности переменных, например для

Этим эквивалентностям мы дадим номера Применим к ним следующие специальные преобразования. Возьмем какую-нибудь из формул и подставим в нее вместо именной формы формулу

Возникшая таким образом формула теперь может быть существенно упрощена.

Мы рассмотрим этот вопрос на имеющемся у нас частном случае формулы 10а)). В левой части этой формулы (после выполнения подстановки) в качестве дизъюнктивного члена будет стоять

Однако по правилам исчисления высказываний [в сочетании с правилом ] этот дизъюнктивный член может быть опущен. В правой части вместо мы получаем выражение

которое может быть преобразовано в отрицание выводимой формулы

и потому этот член дизъюнкции можно будет убрать с помощью схемы заключения. Вместо

в результате подстановки появятся выводимые формулы

которые также могут быть опущены в конъюнкциях. Далее, в выражениях

дизъюнктивные члены, содержащие формульную переменпую А, в результате подстановки также перейдут в такие члены, которые можно будет удалить, применяя правила исчисления высказываний и правило поэтому на месте указанных выражений останутся только формулы

Для формул этого типа мы также введем специальные сокращенные обозначения. Пусть

означает формулу с приставкой из кванторов всеобщности, за которой следует дизъюнкция, состоящая из равенств между всевозможными парами различных переменных, связываемых этими кванторами (таких пар будет ).

Указанная формула вполне этим определяется, если отвлечься от обозначений связанных переменных. Будучи истолкована содержательно, она говорит о том, что в индивидной области имеется не более индивида.

После выполнения подстановки и указанных преобразований рассматриваемая нами эквивалентность с использованием нового обозначения приобретает следующий простой вид:

Введем теперь обозначение

для той формулы, которая получится из

если мы возьмем [по правилу ] ее отрицание. Тогда формула, двойственная по отношению к только что написанной, будет иметь вид

Если использовать формулы

которые легко могут быть выведены для любого заданного числа то обе полученные нами формулы с помощью преобразований исчисления высказываний могут быть переведены в следующий, более подходящий для содержательного осмысливания вид:

С формальной стороны, в этих эквивалентностях достойна внимания выраженная ими переводимость формулы

(или формулы

в такую формулу, которая получается с помощью связок исчисления высказываний из равенств

и формул

(соответственно формул

Заметим, что в последних из названных здесь формул свободные переменные с больше уже не встречаются.

И вообще, этот способ показывает, каким образом из формул путем подстановки вместо именной формы и упрощающих преобразований, выполняемых в рамках исчисления предикатов и направленных на исключение формульной переменной А, получается переводимость формулы

(соответственно формулы

в такую формулу, которая при помощи связок исчисления высказываний строится из равенств между парами свободных переменных и формул

(соответственно формул

здесь означает число переменных . Заметим также, что формула

с точки зрения содержательного ее истолкования говорит о том, что в индивидной области содержится не менее индивидов. Таким образом, если формула Уху будучи истолкована содержательно, указывает максимальное число индивидов в рассматриваемой индивидной области, то формула указывает минимальное их число. Формулы вида

мы будем называть общим именем количественных формул.

Рассматриваемые преобразования мы вывели из эквивалентностей в результате специально подобранной подстановки вместо формульной переменной. Если же мы рассмотрим подстановку какой-нибудь произвольной формулы вместо то из эквивалентностей непосредственно получится переводимость формулы

(соответственно формулы

в некоторую формулу, получающуюся с помощью связок исчисления высказываний, во-первых, из формул

во-вторых, из равенств между всевозможными парами свободных переменных в-третьих, из формул

(соответственно формул

Эффект этого преобразования в случае формулы не содержащей ни одной из переменных состоит в том, что в результате перевода эти свободные переменные в области действия какого-либо квантора всеобщности или существования больше уже не встречаются. В частности, если вообще не содержит никаких свободных индивидных переменных, кроме то в выражениях

не будет никаких свободных переменных.