4. Обобщение понятия t-тождественной формулы; дедуктивная замкнутость совокупности t-тождественных формул; однозначность равенства.

Теперь, после того как в результате проведенных нами формальных рассмотрений мы познакомились с методикой использования аксиом мы снова вернемся к вопросу о непротиворечивости. Нам нужно показать, что в результате добавления к исчислению предикатов знака равенства и связанных с ним аксиом равенства не возникает никакого противоречия, т. е. что при этом никакие две формулы и не оказываются выводимыми одновременно.

Это доказательство мы сможем провести уже применявшимся в гл. IV способом распространив понятие -тождественной формулы исчисления предикатов и на формулы со знаком равенства. Формулу такого рода мы назовем -тождественной (Е здесь означает произвольное, отличное от нуля конечное число), если она, будучи проинтерпретирована в Е-элементной индивидной области, принимает значение «истина» при любой подстановке логических функций 2) вместо формульных переменных и индивидов вместо входящих в нее свободных индивидных переменных (при этом каждому фигурирующему в роли элементарной формулы равенству

в соответствии с его содержательным значением мы придаем значение «истина» или «ложь» в зависимости от того, совпадает с t или же нет).

Кроме того, понятию -тождественной формулы мы сопоставим двойственное ему понятие -выполнимой формулы. Формула рассматриваемого нами формализма будет называться -выполнимой, если она, будучи проинтерпретирована в -элементной индивидной области, принимает значение «истина» при подходящей подстановке логических функций вместо формульных переменных и индивидов вместо свободных индивидных переменных и при условии, что входящим в нее равенствам мы приписываем истинностные значения, соответствующие их содержательному смыслу.

Если отвлечься от того обстоятельства, что здесь в рассмотрение вовлекаются свободные индивидные переменные, то определения этих понятий совпадут с приводившимися в гл. I определениями общезначимости и выполнимости для -элементной индивидной области

Для любой заданной формулы соответствующей проверкой мы всегда сможем выяснить, является ли она 1-тождественной, соответственно -выполнимой. При этом всякая формула -тождественна тогда и только тогда, когда ее отрицание -выполнимым не является.

Формулу, которая является -тождественной для любого , мы, как и раньше, назовем тождественной в конечно а формулу, которая является -выполнимой для некоторых определенных мы назовем выполнимой в конечном.

Мы утверждаем, что обе формулы тождественны в конечном. Для формулы это ясно непосредственно. Что же касается то, интерпретируя эту формулу в какой-либо -элементной индивидной области и производя подстановку вместо формульной переменной и индивидных переменных, мы придем к формуле

Теперь, если совпадает с то тоже совпадает с и поэтому выражение

а тем самым и вся формула в целом, получает значение «истина»; если же отлично от то

принимает значение «ложь», а вся формула в целом снова принимает значение «истина».

С учетом приведенных в гл. IV соображений отсюда можно заключить, что все формулы, выводимые в исчислении предикатов с участием аксиом равенства, являются тождественными в конечном. Отсюда, далее, вытекает, что если мы помимо аксиом равенства добавим какие-нибудь новые -тождественные формулы (для произвольного фиксированного то все выводимые в результате этого формулы снова будут -тождественными. Таким образом, при добавлении одной или нескольких тождественных в конечном формул все выводимые формулы тоже будут тождественными в конечном.

В связи со сказанным следует особенно отметить, что при добавлении к исчислению предикатов равенства и связанных с ним аксиом мы опять не получаем полноты (в том, например, смысле, что всякая формула либо оказывается выводимой, либо, будучи добавлена в качестве исходной формулы, ведет к появлению противоречия).

Действительно, мы знаем, что уже среди формул простого исчисления предикатов для любого числа имеются такие, которые являются -тождественными, но не -тождественными. Всякая такая формула, по только что доказанному, не может оказаться выводимой и в том случае, если мы дополнительно присоединим знак равенства и формулы [так как она не является -тождественной]. С другой стороны, если формулу такого рода присоединить к числу исходных, то снова не получится никакого противоречия; более того, и в этом случае выводимыми окажутся только такие формулы, которые являются ждественными.

Многообразие тех формул, которые являются но не -тождественными, в результате добавления знака равенства становится значительно более широким. Вследствие этого теряет силу теорема о том, что всякая -тождественная формула является в то же самое время и -тождественной, или — иными словами — что всякая -выполнимая формула заодно является и -выполнимой. В самом деле, используя знак равенства, мы для любого конечного числа сможем при помощи соответствующей формулы выразить тот факт, что рассматриваемая индивидная область состоит в точности из I индивидов.

И хотя в указанном смысле слова исчисление предикатов с добавленным знаком равенства и с аксиомами равенства оказывается неполным, тем не менее характеризация равенства посредством формул оказывается однозначной в следующем смысле. Если кроме знака равенства ввести еще один

предикатный символ

и ввести для него в качестве аксиом формулы

соответствующие формулам то можно будет вывести формулу

Чтобы убедиться в этом, в силу соображений симметрии достаточно указать вывод формулы

В формуле вместо именной формы подставим выражение Это даст нам

Переставив посылки, получим

а эта формула совместно с формулой

по схеме заключения даст нам требуемую формулу.

Подчеркнем, что вывод этот существенно опирается на то, что оба предиката

совмещаются в рамках одного и того же формализма.