ГЛАВА II. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АРИФМЕТИКА. ФИНИТНЫЙ СПОСОБ РАССУЖДЕНИЙ И ЕГО ГРАНИЦЫ

§ 1. Рассуждения на интуитивном уровне и их применение в элементарной арифметике

1. Понятие цифры; отношение порядка; сложение.

Поставленный в конце предыдущей главы вопрос о том, можно ли построить анализ прямым, не зависящим от аксиоматики методом и таким образом сделать излишним специальное доказательство его непротиворечивости, дает нам повод вспомнить о том, что аксиоматический метод в его уточненном виде отнюдь не является исконным методом математики. В особенности это верно в отношении экзистенциальных умозаключений, совершаемых при условии, что в основу рассмотрения кладется какая-либо фиксированным образом описанная индивидная область.

Геометрия, правда, с самого начала строилась аксиоматически. Однако аксиоматика Евклида представляется нам содержательной и наглядной. В ней не происходит отвлечения от наглядного смысла фигур. Аксиомы сами по себе тоже имеют неэкзистенциальную форму. Евклид не делает предположения о том, что точки и прямые представляют собой фиксированные индивидные области. Поэтому он и формулирует не аксиомы о существовании, а постулаты о построении.

Один из этих постулатов, например, утверждает, что всякие две точки можно соединить прямой; утверждается также, что вокруг любой точки можно описать окружность заданного радиуса.

И все-таки точка зрения этой методики может быть проведена в жизнь лишь тогда, когда постулаты рассматриваются нами как выражение каких-либо известных нам из действительности фактов, либо когда мы считаем их непосредственно очевидными. Возникающий здесь вопрос о границах применимости геометрических аксиом является, как известно, чрезвычайно деликатным и спорным. Существенное преимущество формальной аксиоматики как раз в том и состоит, что она делает построение геометрии не зависящим от решения этого вопроса.

В области анализа мы свободны от такого рода проблематики, связанной с особым характером геометрического знания, и действительно — здесь, в области элементарной арифметики и алгебры, ориентировка на прямые содержательные рассуждения,

осуществляемые без предположений аксиоматического характера, разработана в наиболее чистом виде.

Характерной особенностью этой точки зрения является то, что рассуждения здесь рассматриваются как мысленные эксперименты над предметами, которые предполагаются конкретно заданными. Так, в арифметике речь идет о числах, которые мыслятся как заданные, в алгебре речь идет о заданных буквенных выражениях с заданными числовыми коэффициентами.

Мы хотели бы более подробно рассмотреть этот способ и несколько уточнить наши исходные положения. В арифметике у нас имеются некоторый исходный объект и, кроме того, некоторая операция порождения. И то, и другое мы должны будем зафиксировать некоторым наглядным образом. Конкретный вид фиксации для нас будет несущественным. Необходимо только, чтобы выбор, осуществленный однажды, сохранялся затем на протяжении всей теории. Мы возьмем в качестве исходного объекта цифру 1, а в качестве операции порождения — приписывание 1.

Объекты, которые мы получим, отправляясь от цифры 1, в результате применения упомянутой операции порождения, такие, например, как

представляют собой фигуры следующего вида: они начинаются и оканчиваются цифрой 1; после каждой цифры 1, не являющейся концом данной фигуры, идет следующая за ней 1. Фигуры эти возникают в результате применения порождающей операции и, следовательно, являются результатами некоторых конкретных завершающихся построений; поэтому эти построения могут быть аннулированы путем последовательных применений обратного процесса ликвидации.

Слегка отклоняясь от привычного словоупотребления, мы будем называть эти фигуры цифрами.

Что касается точного внешнего вида цифр, то мы, как обычно, оставим для него известный простор. Небольшие различия в написании, касающиеся формы и размера знака 1, а также расстояния при дописывании очередной цифры, мы принимать в расчет не будем. Мы существенным образом будем использовать лишь то, что как сама цифра 1, так и результат операции приписывания этой цифры представляют собой некоторые интуитивно ясные (наглядные) объекты, которые можно опознавать однозначным образом, и что у каждой цифры мы всегда можем проанализировать те дискретные части, из которых она составлена.

Наряду с цифрами мы введем в рассмотрение еще и другие знаки, знаки «для сообщения», которые следует в принципе отличать от цифр, представляющих собой объекты арифметики.

Знак для сообщения, взятый сам по себе, является фигурой, про которую мы также будем предполагать, что она может быть однозначно опознана, и небольшими различиями в осуществлении которой мы также будем пренебрегать. Но такие знаки не будут являться объектами рассмотрения теории, а будут использоваться нами в качестве вспомогательного средства для кратких и отчетливых формулировок разного рода фактов, утверждений и предположений.

В арифметике мы будем пользоваться следующими знаками сообщений:

1) строчными готическими буквами для обозначения произвольных нефиксированных цифр;

2) обычными числами для сокращенной записи конкретных цифр (например, 3 для обозначения цифры 111 и т. д.);

3) знаками для конкретных процессов построения и для арифметических операций, с помощью которых мы будем, исходя из заданных цифр, получать новые; эти знаки могут применяться как к фиксированным, так и к произвольным цифрам (например, );

4) знаком для сообщения о графическом равенстве двух цифр, знаком для сообщения о их различии, а также знаками для обозначения отношений порядка между цифрами (эти отношения в дальнейшем еще будут определены);

5) скобками в качестве знаков для указания порядка действий, когда он без этого не ясен.

Чтобы лучше понять, каким образом будут употребляться введенные нами знаки и как при этом будут проводиться содержательные рассуждения, мы построим в общих чертах некоторый достаточно большой фрагмент арифметики.

Первое, что мы введем в связи цифрами, будет отношение порядка между ними. Пусть две цифры оказались различными, Попытаемся разобраться, в результате чего это могло случиться. И начинаются цифрой 1. Построение обеих этих цифр будет протекать одинаково до тех пор, пока для одной из них оно не оборвется, в то время как для другой еще будет продолжаться. Когда этот момент наступит, одна из цифр совпадет с частью другой; точнее говоря, построение этой цифры совпадет с начальным отрезком построения другой.

Если цифра а совпадет с частью цифры мы будем говорить, что а меньше (или также, что больше а), будем обозначать это следующим образом:

Из наших рассуждений следует, что для любых двух цифр a и b всегда должно иметь место одно из отношений

С другой стороны, из наглядного смысла этих отношений видно, что одно из них исключает остальные. Рассуждая аналогично, мы непосредственно получаем, что всегда, когда а имеет место и

В тесной связи с отношением порядка цифр находится операция сложения. Если цифра совпадает с частью цифры а, то остаток тоже является некоторой цифрой с. Таким образом, а можно получить, присоединяя с к так, что цифра 1, которой начинается с, будет приписываться вслед за цифрой 1, которой оканчивается тем же самым способом, как если бы продолжалось применение операции порождения. Такой способ объединения цифр мы называем сложен ем и для его обозначения мы применяем знак

Из этого определения сложения мы непосредственно извлекаем, что если то, сравнивая с а, мы сможем найти представление а в виде где с снова является цифрой. С другой стороны, если исходить из произвольных цифр то сложение их снова даст нам некоторую цифру а, так что будет выполняться равенство

н тогда будем иметь

Следовательно, всегда будет выполняться неравенство

Основываясь на введенных определениях, мы теперь можем объяснить смысл числовых равенств и неравенств — таких, как

Неравенство выражает тот факт, что цифра 11 совпадает с частью цифры 111; равенство говорит о том, что в результате присоединения цифры 111 к цифре 11 возникает цифра 11111.

В обоих рассмотренных нами случаях мы имели дело с верными высказываниями; равенство же

представляет собой пример ложного высказывания.