2. Проблематика бесконечного.
Теперь, перед лицом всей этой проблематики, мы можем попытаться вместо натурального ряда использовать в целях проведения доказательств
непротиворечивости какую-нибудь другую бесконечную индивидную область, которая не была бы, подобно натуральному ряду, чистым мысленным образом, а заимствовалась бы нами из области чувственного восприятия или даже из реальной действительности. Однако при более пристальном рассмотрении ситуации мы убеждаемся, что всюду, где бы мы ни надеялись встретить бесконечные многообразия, — в области ли чувственных ощущений или в физической действительности — о прямом их обнаружении не может быть и речи, что скорее, напротив, убеждение в существовании какого-нибудь многообразия подобного рода основывается на мысленной экстраполяции, обоснование которой нуждается в специальном рассмотрении — во всяком случае, в той же мере, что и само представление о натуральном ряде как о некоторой единой совокупности.
Типичным примером, иллюстрирующим эту мысль, является бесконечность, лежащая в основе известного парадокса Зенона. Предположим, что мы проходим некоторый отрезок за конечный промежуток времени. В этом процессе содержится бесконечно много протекающих друг за другом его частей: сначала мы проходим первую половину отрезка, затем — следующую четверть, следующую восьмую часть и т. д. Если нам придется иметь дело с каким-нибудь настоящим движением, то все эти частичные акты окажутся реальными процессами, которые будут протекать друг после друга.
Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов все-таки сходится и таким образом дает конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только фактически, но хотя бы в принципе), на самом деле все-таки должна завершиться.
В действительности, конечно, существует гораздо более радикальное решение этого парадокса. Ведь на самом деле мы вовсе не обязаны считать, что математическое пространственно-временное представление о движении является физически осмысленным также и в случае произвольно малых пространственных и временных интервалов. Более того, у нас имеются все основания предполагать, что, стремясь иметь дело с достаточно простыми понятиями, эта математическая модель экстраполирует факты, взятые из определенной области опыта, а именно из области движений в пределах того порядка величин, который еще доступен нашему наблюдению, подобно тому, как совершает определенную экстраполяцию механика сплошной среды, которая кладет в
основу своих рассмотрений представление о непрерывном заполнении пространства материей. Подобно тому, как при неограниченном пространственном дроблении вода перестает быть водой, при неограниченном дроблении движения также возникает нечто такое, что едва ли может быть охарактеризовано как движение. Если мы встанем на такую точку зрения, то этот парадокс исчезнет.
Несмотря на это, математическая модель движения как комплекс идеализированных понятий, введенных нами с целью упрощения наших представлений, имеет непреходящее значение. Однако для достижения своей цели, кроме приближенного совпадения с действительностью, модель эта должна удовлетворять еще одному условию: произведенная в ней экстраполяция должна быть непротиворечивой в себе. При такой точке зрения наше математическое представление о движении не оказывается поколебленным парадоксом Зенона ни в малейшей степени: упомянутый нами математический контраргумент действует здесь в свою полную силу. Однако совсем другое дело вопрос о том, действительно ли мы располагаем доказательством непротиворечивости математической теории движения. Эта теория существенным образом использует математическую теорию континуума, а эта последняя в свою очередь существенно опирается на представление о множестве всех целых чисел как о готовой совокупности. Таким образом, кружным путем мы снова возвращаемся к той самой проблеме, которую мы пытались обойти ссылкой на факт движения.
Сходным образом дело обстоит и во всех тех случаях, когда мы полагаем, что бесконечность можно обнаружить непосредственно как данную в опыте или в интуиции — например, как бесконечный ряд тонов, идущий от октавы к октаве, или непрерывное бесконечное многообразие переходов от одного цвета к другому. Ближайшее рассмотрение показывает, что бесконечность здесь нам вообще не дана, а просто в зависимости от обстоятельств то интерполируется, то экстраполируется посредством некоторого мыслительного процесса.
В результате этих размышлений мы приходим к пониманию того факта, что вопрос о существовании какого-либо бесконечного многообразия не может быть разрешен посредством указания каких-либо внематематических объектов, а должен решаться внутри самой математики. Как, однако, такое решение может быть осуществлено? На первый взгляд кажется, что нам вообще хочется чего-то невозможного. Бесконечное количество индивидов предъявить невозможно в принципе; поэтому бесконечность
индивидной области как таковой может выявиться лишь в ее структуре, т. е. в тех отношениях, которые имеются между ее элементами. Другими словами, мы должны будем показать, что рассматриваемая индивидная область удовлетворяет определенным формальным соотношениям. Следовательно, существование бесконечной индивидной области нельзя представить себе иначе, кроме как через выполнимость определенных логических формул; однако это будут формулы как раз того самого рода, что и формулы, в результате исследования которых мы были подведены к вопросу о том, существует ли какая-нибудь бесконечная индивидная область, и выполнимость которых мы как раз и должны были установить посредством указания некоторой бесконечной индивидной области. Таким образом, попытка применить упомянутый метод построения модели к рассматриваемым формулам приводит нас к порочному кругу.
