ГЛАВА III. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ЛОГИЧЕСКОГО ВЫВОДА I: ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

§ 1. Теория истинностных функций

1. Истинностные функции и их таблицы.

С логической символикой мы познакомились уже в гл. I. Она играла там роль особого языка формул, который помог нам составить себе четкое представление о структуре математических аксиом. Теперь с помощью этого языка мы хотим осуществить формализацию способов логических умозаключений. Процесс логического вывода мы будем имитировать формальным оперированием со знаками, протекающим по вполне определенным правилам.

Шаг, который мы собираемся совершить, аналогичен переходу от содержательной аксиоматики к формальной. Подобно тому, как там мы абстрагируемся от вещественного смысла рассматриваемых предметов и отношений и принимаем в расчет одну лишь формальную структуру зависимостей, здесь мы также исключаем из рассмотрения содержательный смысл логических связок и правил умозаключений и начинаем рассматривать лишь их формальную структуру.

Прежде чем приступить к построению системы правил вывода, соответствующих этой формальной точке зрения, мы в качестве важной вспомогательной дисциплины рассмотрим элементарную логику высказываний, которую нам проще всего будет изложить как содержательно-комбинаторную теорию «истинностных функций».

С этой целью мы рассмотрим те сочетания высказываний, для которых в гл. I мы уже ввели специальные символы: речь идет о конъюнкции, дизъюнкции, импликации и отрицании. Мы постараемся уяснить себе, в какой мере эти логические образования носят характер истинностных функций.

Рассмотрим в качестве примера конъюнкцию. Пусть и — какие-либо предложения, относительно которых установлено, что они могут быть однозначно охарактеризованы как истинные или как ложные. Тогда предложение

гакже является истинным или ложным и для установления того, какой именно из этих двух случаев имеет место, нам ничего не нужно знать о содержании предложений : все будет зависеть только от того, истинными пли же ложными являются сами действительно, истинно тогда и только тогда, когда истинными являются как , так и 25.

В соответствии с этим мы можем рассматривать конъюнкцию как функцию двух аргументов каждый которых может принимать два значения «истина» и «ложь». Эта функция каждой системе значений своих аргументов ставит в соответствие снова одно из этих двух значений «истнпа» или «ложь». Таблица значений (Verlauf) этой функции может быть представлена следующим образом:

Каждой из четырех клеток таблицы соответствует одна из четырех комбинаций истинностных значений аргументов а записанное в клетке истинностное значение представляет собой соответствующее значение рассматриваемой функции.

Подобно конъюнкции, как истинностные функции могут быть рассматриваемы также дизъюнкция, отрицание и импликация. Отрицание представляет собой функцию одного аргумента, и функция эта может быть представлена следующей таблицей:

Таким образом, является истинным или ложным в соответствии с тем, ложно или истинно само А.

Таблица дизъюнкции имеет вид

Таким образом, дизъюнкция оказывается истинной, если хотя бы один из ее аргументов принимает значение «истина».

Импликацию в гл. I мы ввели непосредственно как истинностную функцию, а именно как функцию, которая принимает значение «ложь», если А истинно и В ложно, и значение «истина» в остальных случаях. Таким образом, таблица этой истинностной функции имеет вид

Выбор упомянутых четырех истинностных функцнй мы произ вели, взяв за образец структуру нашего языка; конъюнкция, отрицание, дизъюнкция и импликация сопоставляются нами употребляемым в языке словам «не», «или», «если..., то...». Сопоставление это выглядит следующим образом: необходимым и достаточным условием истинности каждой из этих четырех истинностных функций является то сочетание истинности аргументов, которое выражается посредством сопоставленного этой функции слова. Таким образом, условие истинности заключается:

для конъюнкции в том, что А истинно и В истинно, для отрицания в том, что А не истинно,

для дизъюнкции в том, что А истинно или В истинно, для импликации АВ в том, что если А истинно, то В истинно.

Для упоминания истинностных функций при чтении формул мы будем пользоваться соотнесенными этим функциям словами; при этом мы должны полностью отдавать себе отчет в том, что такое употребление слов не всегда будет совпадать с их обычным употреблением в разговорном языке.

Введем еще одну истинностную функцию — «эквивалентность» Она будет выражать совпадение истинностных значений двух высказываний — отношение, для которого в речевом обиходе в нашем распоряжении не имеется никакого специального слова. Таблица этой истинностной функции такова:

Таким образом, эквивалентность является истинной, если оба истинны или оба ложны; в противном случае ложна.