§ 3. Вопрос о непротиворечивости в случае бесконечной индивидной области

1. Формулы, невыполнимые в конечном; натуральный ряд как модель.

Ограничивается ли применимость указанного метода случаем конечных индивидных областей? Наши предыдущие рассуждения не дают нам оснований сделать такой вывод. Конечно, сразу становится ясно, что всевозможные системы предикатов в случае бесконечной индивидной области не образуют обозримого многообразия и что о последовательном просмотре всех пробегов значений в этом случае речи быть не может. Тем не менее рассматриваемые аксиомы все же могут оказаться такими, что мы будем в состоянии доказать их выполнимость путем подбора подходящих предикатов. И действительно, такие случаи иногда имеют место. Достаточно, например, взять систему из следующих трех аксиом:

Давайте попытаемся понять, в чем смысл этих аксиом. Возьмем какой-либо объект а из индивидной области. Согласно третьей аксиоме, должен существовать объект такой, что истинно. Согласно первой аксиоме, он отличен от а. Далее, для должен существовать объект С такой, что истинно. На основании второй аксиомы также истинно; в соответствии с первой аксиомой с отличен от и от Для с снова должен существовать объект для которого истинно. Для него истинны также и а значит, отличен от Это рассуждение никогда не оборвется, и поэтому в конечной индивидной области наши аксиомы выполнены быть не могут. Однако, с другой стороны, мы легко можем выполнить их в бесконечной индивидной области: возьмем в качестве индивидов целые числа, а в качестве R(х, у) - отношение «х меньше у»; тогда все три аксиомы немедленно окажутся выполненными.

Аналогичная ситуация имеет место и в случае системы аксиом, состоящей из формул

Легко показать, что эти аксиомы также не могут быть выполнены в конечной индивидной области. С другой стороны, они выполняются в области положительных целых чисел, если в качестве взять отношение «у непосредственно следует за х».

Рассматривая эти примеры, мы замечаем, однако, что приведенные нами модели вовсе не дают окончательного решения вопроса о непротиворечивости рассматриваемой системы аксиом: более того, они только сводят его к вопросу о непротиворечивости арифметики. В ранее рассмотренном нами примере мы, правда, тоже пользовались целыми числами для построения конечной модели. Но там это делалось только в целях достижения большей простоты в обозначениях индивидов. Вместо чисел мы могли бы взять какие-нибудь другие индивиды — например, буквы. Использованные там свойства чисел также были такого рода, что их наличие у индивидов могло быть установлено путем конкретной проверки.

Но в рассматриваемом случае мы уже не сможем обойтись представлением об одних лишь конкретных числах; в самом деле, нам приходится существенно использовать предположение о том, что целые числа образуют индивидную область, т. е. некоторую готовую совокупность (eine fertige Gesamtheit).

Конечно, это предположение является для нас очень привычным, поскольку в современной математике мы постоянно имеем с ним дело. Мы даже склонны считать его само собой разумеющимся. И Фреге был первым, кто очень энергично, опираясь на тонкую, остроумную критику, выдвинул тезис о том, что представление о натуральном ряде как о готовой совокупности должно быть обосновано посредством доказательства его непротиворечивости. Такое доказательство, как полагал Фреге, могло бы быть осуществлено только при помощи некоторого построения как доказательство существования, и он рассчитывал отыскать объекты для такого построения в области логики. Предложенный им способ исходит из того, что совокупность всех чисел определяется с помощью совокупности всех вообще мыслимых одноместных предикатов, существование которой нами предполагается. Но положенное при этом в основу предположение, которое и без того кажется весьма подозрительным уже при непредвзятом рассмотрении, оказалось совершенно несостоятельным вследствие обнаруженных Расселом и Цермело знаменитых логических и теоретико-множественных парадоксов. И неудача этого предприятия показала нам — еще отчетливее, чем диалектика Фреге, — всю проблематичность допущения о том, что натуральный ряд представляет собой некоторую единую совокупность.