§ 118. Интегрирование уравнения изгиба.

Интегрированию уравнения (116.4) посвящена весьма большая литература, хотя математически вопрос и представляема элементарным. Правая часть уравнения обычно не является аналитической функцией координаты , аналитическое выражение момента меняется от участка к участку. Поэтому задача об определении прогибов может оказаться довольно трудоемкой. На каждом участке появляются свои константы интегрирования, и их приходится определять из условий сопряжения. Излагаемый ниже метод интегрирования по идее восходит к Эйлеру, для более сложных уравнений изгиба балки на упругом основании и колебаний стержня он разработан А. Н. Крыловым; для уравнения (116.4) этот метод использовался многими авторами. Проинтегрировав уравнение (116.4) в пределах от нуля до , получим:

(118.1)

Проинтегрируем еще раз от нуля до уравнение (118.1). Получим:

(118.2)

Эта формула дает общий интеграл уравнения (116.4), зависящий от двух постоянных: . При вычислении интегралов в формулах (118.1) и (118.2) нам придется иметь дело с особыми функциями определенными следующим образом:

(118,3)

Докажем следующую теорему о функциях

(118.4)

Действительно, если то

если , то

Изгибающий момент в обычных случаях загружения балки может быть выражен через функции Рассмотрим, например, балку, загруженную моментом М в сечении с координатой а, силой Р в сечении с координатой b и равномерно распределенной нагрузкой q, начиная с сечения, имеющего координату с (рис. 173), до сечения

Рис. 173.

Изгибающий момент в сечении с координатой z от приложенного момента М равен нулю, если и равен М при Это можно написать следующим образом:

По определению есть прерывная функция, равная нулю при и единице при Рассуждая совершенно так же, найдем, что от силы Р момент равен величине Р, умноженной на ; от нагрузки — величине q, умноженной на . Последнее верно лишь для загруженного участка при

Если можно рассуждать следующим образом. Предположим нагрузку неограниченно простирающейся вправо, но, начиная с сечения d, приложим противоположно направленную нагрузку . Тогда

В общем случае, когда на стержень действует несколько моментов, сил и нагрузок,

По формуле (118.1), если , получим, принимая во внимание (118.4):

По формуле (118.2)

Последнее выражение и представляет общий интеграл уравнения изгиба. Вспомнив определение функций запишем формулы для окончательно следующим образом:

Значок над символом суммы обозначает, что суммируются только те величины, которые относятся к части балки, левой по отношению к рассматриваемому сечению. При переходе от одного участка к другому в формулах прибавляются новые члены.

Эти уравнения легко распространить на нагрузки, распределенные по закону треугольника, трапеции и параболы любой степени. Предоставляем сделать соответствующий вывод читателю.