§ 156. Теорема о минимуме энергии.

Эта теорема представляет частный случай теоремы Кастильяно применительно к статически неопределимым системам. Пусть мы имеем статически неопределимую систему. Отбрасывая связей, мы превращаем систему в статически определимую. Введем реакции этих связей . Через «лишние» неизвестные можно выразить усилия и моменты во всех элементах системы, таким образом, энергия W будет функцией лишних неизвестных Теорема состоит в том, что величина W, рассматриваемая как функция лишних неизвестных, имеет минимум для тех значений этих неизвестных, которые получаются в действительности.

Заметим, что обобщенные перемещения, соответствующие лишним неизвестным в статически неопределенных задачах, всегда равны нулю.

Если лишняя неизвестная вводится путем отбрасывания внешней связи, то мы требуем, чтобы соответствующее перемещение равнялось нулю. Если неизвестная вводится за счет нарушения внутренних связей, как в примере § 149 (рис. 228), то это есть обобщенная сила, представляющая собою совокупность двух сил или двух моментов, приложенных к краям разреза.

Соответствующее обобщенное перемещение — это или относительное расхождение краев разреза, или угол поворота одного края относительно другого. Так как в действительности стержень должен оставаться цельным, обобщенное перемещение всегда равно нулю. Значит, по теореме Кастильяно

(156.1)

Уравнения (156.1) представляют условия экстремума функции W. Остается показать, что этот экстремум есть минимум. Для этого вычислим вторую вариацию функции :

Но по формуле (156.1)

Поэтому

Итак, есть потенциальная энергия, соответствующая силам . Но упругая энергия является положительно определенной квадратичной формой, так как нельзя приложить к системе такие силы, которые сделали бы отрицательной ее энергию. Поэтому и уравнения (156.1) представляют условия минимума потенциальной, энергии, рассматриваемой как функция лишних неизвестных.

Теорема Кастильяно и следствие ее — теорема о минимуме энергии позволяют непосредственно находить перемещения стержневых, систем и определять лишние неизвестные в стержневых системах. Однако в настоящее время предпочитают пользоваться иными способами практического расчета, которые будут изложены в следующем параграфе. Эти способы более удобны технически, но они. обладают меньшей общностью, будучи применимыми только для стержней и стержневых систем. Теорема же Кастильяно и начало наименьшей работы — это весьма общие теоремы, верные для всех упругих, тел при достаточно широких предположениях; они принадлежат не только сопротивлению материалов, но и теории упругости, служа основой ряда приближенных методов; принципиальное их значение огромно.