§ 173. Формула и способ Релея.

Определение собственных частот колебаний упругой системы становится чрезвычайно затруднительным тогда, когда число степеней свободы велико и уравнение частот имеет высокий порядок. Уже развертывание определителя требует большого труда, не говоря о нахождении корней уравнения частот. В то же время для приложений достаточно знать наименьшую, первую частоту, так называемую частоту основного тона. Ее можно найти с достаточной для практики точностью, пользуясь приближенным методом Релея.

Выпишем уравнение (170.7):

Умножим это уравнение на и просуммируем по индексу i, шосле чего найдем из получившегося уравнения:

Если то по формуле (173.1) мы получим для точное значение если — произвольное число, то для по этой формуле получится некоторая величина, вообще говоря не являющаяся частотой каких-либо колебаний системы. Но если то выполняются уравнений, следующих из (170.7):

(173.2)

Представим теперь произвольную конфигурацию системы размещением ее по главным формам: .

Внесем это выражение в числитель формулы (173.1). Получим:

Переменим порядок суммирования, выделив сначала сумму По формуле (173.2) эта сумма равна . Теперь мы можем выделить сумму которая равна нулю при и равна единице при Таким образом, мы получим:

Преобразуем теперь знаменатель формулы (173.1):

Меняя опять порядок суммирования, найдем:

Таким образом, формула (173.1) может быть переписана так:

Так как то каждый член числителя больше соответствующего члена знаменателя и мы получаем неравенство или же

где — произвольные числа. Знак равенства возможен только тогда, когда то есть конфигурация системы в точности соответствует первой главной форме.

Неравенство, устанавливаемое формулой (173.3), и является содержанием теоремы Релея.

Задаваясь совокупностью амплитуд которая, на наш взгляд, близка к первой главной форме колебаний, мы находим по формуле (173.3) приближенное значение квадрата первой собственной частоты. Заметим, что числитель в формуле (173.3) представляет собою удвоенную потенциальную энергию системы при перемещениях знаменатель же представляет удвоенную кинетическую энергию, вычисленную в предположении, что скорости равны перемещениям. Особенно простым становится применение формулы (173.3) тогда, когда совокупность величин представлена как совокупность перемещений от действующих на систему сил .

Тогда потенциальную энергию можно вычислить по теореме Клапейрона. Обозначая перемещения от сил через перепишем формулу Релея следующим образом:

(173.4)

В числителе суммирование идет по тем точкам, где приложены силы, в знаменателе — по точкам, где сосредоточены грузы.

Обратимся к примеру § 171 и вычислим для рассмотренной там системы первую частоту свободных колебаний приближенно, по формуле Релея. Сначала зададимся формой кривой прогиба, соответствующей одной силе Q, приложенной посередине. При этом

По формуле (173.4)

Разница с точным решением составляет всего 0,8%. Если взять за форму прогиба упругую линию балки, нагруженной тремя одинаковыми силами в точках 1,2, 3, то есть статическую кривую прогиба балки от собственного веса, то три знака приближенного решения совпадают с точным.