§ 153. Теорема о взаимности работ.
Условие симметрии коэффициентов 
можно истолковать следующим образом. Пусть в точке i приложена сила 
. Прогиб в точке j от этой силы по формуле (141.2) будет 
. Если теперь приложить силу 
в точке то прогиб в точке i будет по той же формуле 
. Итак, прогиб в первой точке от силы, приложенной во второй точке, равен прогибу во второй точке от той же силы, приложенной в первой точке.
Более общая формулировка теоремы взаимности будет следующей:
Работа сил первой системы на перемещениях точек их приложения от действия сил второй системы равна работе сил второй системы на перемещениях точек их приложения от действия сил первой системы.
Будем отмечать силы первой системы штрихом вверху и занумеруем их от 1 до k:
Силы второй системы будем нумеровать от k+1 до 
и отмечать двумя штрихами:
Перемещение точки приложения силы номер s первой системы от действия сил второй системы есть
Аналогично
Работа сил первой системы на перемещениях точек их приложения от действия сил второй системы есть
Аналогично
Меняя порядок суммирования и пользуясь симметрией коэффициентов 
замечаем, что 
чем и доказывается теорема. Рассмотрим примеры применения теоремы о взаимности работ.
1) Известно, что угол поворота 
на конце балки, лежащей на двух опорах, от силы, приложенной посередине, есть 
.
Определим прогиб 
в середине такой же балки, нагруженной на конце моментом. По доказанной теореме
Отсюда
2) При внецентренном растяжении или сжатии стержня силой, полюс которой находится в точке 1, продольное волокно, пересекающее плоскость сечения в точке 2, получит удлинение 
Перенесем теперь силу так, чтобы ее полюс был в точке 
. Тогда удлинение волокна, проходящего через точку 1, будет 
. По теореме о взаимности
Но равным удлинениям соответствуют и равные напряжения, поэтому
Теорема, выражаемая этим равенством, была нами положена в основу теории ядра сечения (§ 111).
