Таким образом,
Используя условие (46.2), получим:
II.
. При этом
Условие пластичности:
III.
. Условие Треска принимает следующий вид:
IV.
. Условие пластичности будет тем же, что и в третьем случае, только
меняются местами:
Аналогично предыдущему рассмотрим еще два случая, когда оба напряжения
и
отрицательны:
V.
.
VI.
.
Выписанные условия легко изобразить графически. Будем откладывать по оси абсцисс
, а по оси ординат
(рис. 55). Проведем биссектрису координатного угла.
Рис. 55.
Оси координат и эта биссектриса разбивают плоскость на шесть частей, в каждой из которых выполняется одно из вышеприведенных неравенств. В каждой части плоскости условия пластичности изображаются прямой, отрезки этих прямых образуют показанный на рис. 55 шестиугольник. Теперь легко понять, почему условие Треска—Сен-Венана не всегда оказывается удобным в применении. Если напряженное состояние в теле неоднородно, то в различных частях его могут быть осуществлены любые соотношения между и <т поэтому для разных областей одного и того же тела приходится пользоваться различными аналитическими формами условия пластичности. С другой стороны, линейность всех этих условий иногда оказывается чрезвычайно выгодной и удобной.
Применяя к случаю плоского напряженного состояния условие Мизеса, мы не должны задумываться о том, какой номер следует присвоить напряжению
какой — напряжению
результат всегда будет одинаковым. Примем для определенности, например,
. Подставляя в условие (47.2), получим:
В координатах
это — уравнение эллипса. Легко проверить, что эллипс Мизеса проходит через вершины шестиугольника Треска — Сен-Венана, главные оси его направлены по биссектрисам углов между осями координат.
В заключение выпишем условия пластичности по двум теориям для общего случая плоского напряженного состояния, когда известны компоненты тензора напряжений относительно произвольных осей координат х, у. Главные напряжения находятся по формулам (36.7):
При этом всегда
поэтому случаи II, IV и VI применения условия пластичности Треска — Сен-Венана отпадают. Если
осуществляется случай I и условие пластичности имеет вид:
Если
мы получаем случай III, следовательно,
Наконец, если
и наибольшее напряжение равно нулю, реализуется случай V и мы имеем:
По теории Мизеса после простых преобразований из формулы (48.1) получается:
Таким образом, если направления главных осей заранее неизвестны, преимущества линейности условия Треска утрачиваются и условие Мизеса, которое описывается только одним аналитическим выражением, оказывается более простым.