§ 79. Деформационная теория пластичности.

В основу деформационной теории пластичности положено представление о том, что при возрастающих напряжениях поведение материала в области пластических деформаций принципиально не отличается от его упругого поведения в том смысле, что величины напряжений и деформаций связаны между собою однозначными зависимостями.

Простейшее предположение состоит в том, что эти зависимости по форме совершенно совпадают с законом Гука, причем, однако, модуль упругости Е и коэффициент Пуассона v уже не являются постоянными величинами, их нужно заменить через — пластический модуль и пластический коэффициент Пуассона, которые зависят от степени деформирования.

Подобная теория для неупрочняющегося материала была предложена Генки и обобщена Надаи на случай материала с упрочнением. Надаи сформулировал основные законы деформационной теории пластичности, а именно:

1. Закон упрочнения. Октаэдрический сдвиг является функцией октаэдрического касательного напряжения:

Этот закон был подробно разъяснен в § 78.

2. Закон упругости объемной деформации. Опыты, произведенные при высоких всесторонних давлениях, показали, что всестороннее сжатие не может привести к переходу в пластическое состояние, поэтому изменение объема всегда упруго и формула (43.4) верна как в упругой, так и в пластической области. Введя обозначение

перепишем ее так:

3. Закон пропорциональности девиаторов. Как уже было сказано, основные соотношения между напряжениями и деформациями в деформационной теории пластичности записываются так же, как уравнения закона Гука:

Величины переменны, но до сих пор не было ясно, от чего они зависят. Теперь, приняв во внимание два первых закона, мы сможем на этот вопрос ответить. Прежде всего сложим уравнения (79.3). Будем иметь:

Сравнивая с уравнением (79.2), получим:

Таким образом, из двух переменных величин независимой является только одна, вторая через нее выражается.

Вычтем теперь из левых частей соотношений (79.8) величину , а из правых — равную ей величину . После простых преобразований придем к следующей системе:

Здесь

Вместо двух переменных параметров мы имеем постоянный объемный модуль упругости К и одну только переменную . Осталось выяснить, от чего зависит Для этого вычтем уравнения (79.4) одно из другого попарно. Получим:

Подставив полученные выражения для разностей относительных деформаций в формулу (78.1) для октаэдрического сдвига, имеем:

Вспоминая определение октаэдрического касательного напряжения, найдем отсюда:

Соотношение (79.5) между вполне аналогично соотношению между при сдвиге. Именно поэтому при определении по формуле (78.1) перед радикалом был взят множитель а не как в выражении . Но в силу первого закона деформационной теории пластичности поэтому

Таким образом, пластический модуль сдвига должен рассматриваться как функция либо октаэдрического касательного напряжения, либо октаэдрического сдвига. Третий закон деформационной теории пластичности достаточно надежно подтверждается экспериментами для случая пропорционального нагружения.

Для неупрочняющегося материала понятие пропорционального нагружения лишено смысла; при соблюдении условия пластичности, связывающего компоненты тензора напряжений, изменение напряженного состояния возможно лишь за счет изменения соотношений между напряжениями. Однако деформационной теорией пользуются и для неупрочняющегося материала (теория Генки) в качестве приближения.

Для суждения о возможности применения деформационной теории нужно знать, в какой мере реализуются условия пропорционального нагружения в каждом элементе объема тела, подвергнутого действию внешних сил. Достаточные условия этого состоят в следующем: 1) внешние силы возрастают пропорционально, 2) упругой сжимаемостью материала можно пренебречь, то есть можно положить е = 0, и 3) функция закона упрочнения (79.1) является степенной функцией (А. А. Ильюшин). Последнее условие мало реально для металлов, поэтому пропорциональное нагружение в действительных изделиях осуществляется редко. Однако, имеются основания полагать, что уравнения теории. пластичности деформационного типа остаются достаточно точными и тогда, когда нагружение несколько отличается от пропорционального; наибольшие расхождения с опытными данными обнаруживаются в тех случаях, когда в процессе нагружения поворачиваются главные оси.