§ 21. Стержни переменного сечения.

Если сечение стержня переменно, гипотеза о том, что в его поперечных сечениях действуют только нормальные напряжения; притом равномерно распределенные по сечению, становится неверной. Чтобы доказать это, рассечем стержень (рис. 23) двумя плоскостями перпендикулярными оси.

Рис. 23.

Построим цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси цилиндра, и основанием — сечением стержня плоскостью . Мысленно вырежем из стержня кольцо, ограниченное цилиндрической поверхностью и плоскостью . Если предположить, что в сечении действуют только нормальные напряжения а, то вырезанное кольцо (на рисунке показано отдельно) не будет в равновесии; для равновесия необходимо, чтобы на цилиндрической поверхности былн распределены касательные напряжения , но по закону парности им соответствуют равные касательные напряжения в плоскости что противоречит сделанному предположению о существовании в поперечных сечениях одних только нормальных напряжений. Однако если угол между касательной к образующей и осью стержня мал по сравнению с единицей, то можно приблизительно считать и здесь, что в сеченин действуют равномерно распределенные нормальные напряжения, определяемые по формуле

Здесь - переменная площадь, - усилие в сечении. Это усилив может быть постоянным по длине, если действует сила на конце стержня, и переменным, если на стержень действуют массовые силы.

Элемент длиной непосредственно примыкающий к тому сечению, в котором напряжение равно получает удлинение

Отсюда интегрированием находим полное удлинение стержня:

Рассмотрим в качестве примера задачу о так называемом стержне равного сопротивления при сжатии.

Пусть на конце стержня приложена сжимающая сила Р, удельный вес материала есть . Нужно выбрать закон изменения площади так, чтобы напряжение в каждом сечении было постоянным.

Сжимающая сила в сечении с координатой х складывается из силы Р и веса верхней части:

Требуя, чтобы напряжение было постоянно и равно получим.

Ищем решение для неизвестной функции в виде

Подставляя в уравнение, найдем:

а так как это соотношение должно выполняться при любом то

Итак,

Поскольку напряжение постоянно, относительное удлинение элементов стержня равного сопротивления тоже постоянно и равно полное удлинение есть .