§ 122. Изгиб стержней переменного сечения.
Графоаналитический метод. На практике часто приходится рассчитывать на изгиб стержни, сеченне которых переменно. За основу при этом примем общий интеграл уравнения изгиба в форме (118.2):
Обозначим через 
момент инерция сечения стержня в каком-либо месте, например при 
. Введем обозначение:
Будем называть функцию 
фиктивной нагрузкой. Заметим, что по известной формуле Коши
Теперь можно написать выражения для прогиба и углового коэффициента касательной к упругой линии следующим образом:
(122.1)
Интегралы в формулах (122.1) и (122.2) допускают простую геометрическую интерпретацию. Построим эпюру функции 
(рис. 180). Тогда интеграл в формуле (122.2) представляет собою площадь той частн эпюры, которая расположена слева от сечения, в котором ищется прогиб.
Рис. 180/
Интеграл в формуле (122.1) является моментом этой площади относительно точки с координатой z на оси балки.
Вспоминая определение перерезывающей силы и изгибающего момента, можем сказать, что формулы (122.1) и (122.2) определяют соответственно изгибающий момент и перерезывающую силу в некоторой балке, несущей фиктивную нагрузку 
и нагруженной, кроме того, на левом конце силой 
и моментом 
. Таким образом, построение упругой линии сводится к построению эпюры изгибающих моментов фиктивной балки. Фиктивные сила и момент R и 
находятся из граничных условий. Заметив, что формулы (122.1) и (122.2) можно написать так;
где M и Q — фиктивный изгибающий момент и перерезывающая сила, посмотрим, как нужно закрепить фиктивную балку.
Там, где действительная балка имеет концевой шарнир, 
следовательно, у фиктивной балки 
. Но перерезывающая сила на конце при равном нулю моменте существует тогда, когда балка шарнирно оперта. Поэтому концевому шарниру у действительной балки соответствует концевой шарнир балки фиктивной. Если конец действительной балки свободен, то прогиб и угол поворота отличны от нуля, следовательно, у фиктивной балки отличны от нуля момент и перерезывающая сила. Это возможно, если конец фиктивной балки считать заделанным. Продолжая подобное рассуждение, получим таблицу соответствия закрепленной действительной и фиктивной балок, изображенную на рис. 181.
Рис. 181.
Сведя задачу интегрирования к вычислению площадей и моментов этих площадей, мы привели нахождение прогибов и углов наклона оси стержня к построению эпюр и арифметическим операциям над величинами, находимыми из этих эпюр. Поэтому изложенный метод нахождения прогибов называется графоаналитическим. Поясним его примером.
Определим прогиб на конце балки, изображенной на рис. 182. Пусть 
Построим сначала эпюру моментов; примем теперь J за Отношение 
на первом участке и равно двум на втором. Поэтому, чтобы получить эпюру 
необходимо ординаты эпюры моментов на втором участке увеличить вдвое. Делая левый конец у фиктивной балки свободным и заделывая правый в соответствии с установленными нами правилами, вычислим фиктивный момент в заделке.
Рис. 182.
Для этого разобьем площадь эпюры 
на треугольники, вычислим их площади, найдем центры тяжести и составим момент по частям:
Таким образом,
