§ 77. Течение при условии пластичности Сен-Венана и Мизеса.

Рассмотрим сначала условие пластичности Сен-Венана:

По формулам (76.2) получаем:

Уравнения (77.1) показывают, что пластическая деформация при условии пластичности Сен-Венана и ассоциированном законе течения представляет собою чистый сдвиг в плоскости главных осей 1 и 3. В направлении среднего по величине главного напряжения а, никакой пластической деформации не происходит. Величина указанного сдвига произвольна, скорости равные по величине и противоположные по знаку, также совершенно неопределенны, но — всегда скорость удлинения, а — скорость укорочения. Поэтому величина положительна.

То, что есть производная по времени от деформации, совершенно несущественно. Вместо времени можно взять любую функцию от времени, лишь бы она была монотонно возрастающей.

При получении уравнений (77.1) предполагалось, что главные напряжения все различны: . Если какие-либо два из главных напряжений равны, например то условие пластичности можно записать в любой из следующих форм:

В этом случае считают, что чистый сдвиг происходит одновременно и независимо в плоскостях 1—3 и 1—2. Воспроизводя вывод предыдущего параграфа для каждого из условий (77.2) независимо и складывая получающиеся скорости течения, получим:

Здесь скорости зависят уже от двух неопределенных величин, но так как три скорости связаны условием несжимаемости, то независимо можно задать только две из них. Итак, при условии, что скорости могут быть любыми, лишь бы выполнялось условий несжимаемости. Единственное ограничение состоит в том, что в формулах (77.3) положительны. Таким образом, , всегда отрицательны, а равная сумме абсолютных величин двух других скоростей, всегда положительна.

Принимая условие пластичности Мизеса, мы должны положить:

Внося выражения в уравнения (76.2) и опуская несущественный численный множитель, который включается в неопределенный множитель получим следующий закон течения:

Эти формулы похожи на соотношения закона Гука, только вместо деформаций в них фигурируют скорости деформаций, вместо — неопределенный множитель , а коэффициент Пуассона принят равным что соответствует несжимаемому материалу. Легко убедиться в том, что условие неизменности объема для законов течения (77.1) и (77.4) выполняется автоматически. Так получается оттого; что условие пластичности не зависит от гидростатической составляющей тензора напряжений.