§ 141. Исследование поведения сжатого стержня при потере устойчивости за пределом упругости.

Проследим более детально поведение сжатого стержня при возрастании сжимающей силы. Будем считать материал следующим диаграмме сжатия с линейным упрочнением (рис. 217). Приращения напряжения и деформации при догрузке и разгрузке соответственно связаны соотношениями (139.2) и (139.3), причем в формуле (139.2) касательный модуль постоянен.

Рис. 217.

Обозначим через укорочение оси стержня после бифуркации, то есть при изменении нагрузки от до Р, через — соответствующую кривизну изогнутой оси стержня. Деформацию волокна с координатой у, происшедшую после бифуркации, обозначим . Очевидно, что

(141.1)

На нейтральной оси следовательно, эта ось отстает от оси х на расстояние . Внося (141.1) в (139.2) и (139.3), получим:

В дальнейшем будем считать сечение стержня прямоугольным, с высотой и шириной . Вычислим и изгибающий момент М:

(141.3)

Правые части в формулах (141.2) и (141.3) представляют собою однородные функции первой степени относительно и . Поэтому можно перейти к следующим безразмерным параметрам:

Уравнения (141.2) и (141.3) примут следующий вид:

(141.4)

Ели из системы уравнений (141.4) исключить , получится нелинейное соотношение между изгибающим моментом и кривизной. Соответствующие выкладки слишком сложны, для нас достаточно выяснить характер получающейся зависимости. Заметим прежде всего, что соотношения (141.4) справедливы лишь при то есть когда в сечении существуют зоны догрузки и разгрузки. Вспоминая выражение для найдем, что должно и, следовательно, . При во всем сечении происходит догрузка, следовательно,

Переходя к безразмерным величинам, получим:

(141.5)

При первое из уравнений (141.4) дает , следовательно, формула (141.5) верна при . График зависимости между на первом участке представляет собою биссектрису координатного угла от начала до точки (рис. 218). Дальше кривую нужно строить с помощью уравнений (141.4). При больших значениях х в первом уравнении можно пренебречь правой частью:

Рис. 218.

Отсюда следует:

Подставим найденное значение во второе уравнение. Получаем:

Но по формуле (139.11) множитель перед х в правой части представляет собою отношение приведенного модуля к касательному, следовательно,

(141.6)

Таким образом, кривая зависимости между имеет асимптотой луч, выходящий из начала координат с наклоном, равным . Теперь нам предстоит решить задачу об изгибе сжатого стержня при нелинейной зависимости между моментом и кривизной, установленной графиком на рис. 218. Если прогнб есть изгибающий момент в сеченни с координатой (см. § 136), кривизна изогнутой оси , то отсюда следует, что

Перейдем к безразмерным величинам. Получим:

Заметим, что критическая сила Энгессера — Шенли

поэтому предыдущее уравнение можно записать следующим образом:

Будем искать приближенное решение уравнения (141.7). Предположим, что стержень, шарнирно закрепленный на двух концах, изгибается по синусоиде, так же как и в случае упругой потери устойчивости. Так как изгибающий момент пропорционален прогибу, можно принять

Подставим в уравнение (141.6) и потребуем выполнения этого уравнения только в одной точке, при , когда равен единице. Получим:

(141.8)

Уравнение (141.8) легко решается графически. Для этого нужно провести из начала координат луч с угловым коэффициентом, равным . Точка пересечения этого луча с кривой (рис. 218) имеет своими координатами — безразмерный момент и кривизну в среднем сечении стержня. Если луч не пересекается с кривой, следовательно, прогиб невозможен, стержень остается прямым.

При значение неопределенно, луч совпадает с биссектрисой координатного угла, а при переходе от безразмерных параметров к моментам и кривизнам их нужно множить на . Таким образом, прогиб остается равным нулю и при . При каждому значению силы соответствует определенное значение прогиба, которое стремится к бесконечности по мере того, как сила стремится к величине . Примерный график зависимости прогиба от силы приведен на рис. 219.

Рис. 219.

При происходит бифуркация, прогиб непрерывно растет, стремясь к бесконечности при где — критическая сила Кармана, определенная по приведенному модулю. Последний результат является следствием того, что мы воспользовались приближенным выражением для кривизны. Если взять точное выражение кривизны, для каждого значения силы прогиб будет конечным, как это было показано для упругого стержня в § 137. Заметим, что в приведенном анализе не учтена возможность появления пластической растянутой области в зоне разгрузки, что обязательно будет при достаточно больших прогибах.

При испытаниях стержней на устойчивость обычно реализуются именно те условия, которые приняты при установлении критерия потери устойчивости Шенли; нагрузка, создаваемая испытательной машиной, непрерывно возрастает. Однако при прогиб первоначально прямого стержня равен нулю, фактически за момент потерн устойчивости принимается момент, когда прогиб достигает некоторой достаточно большой величины, поэтому измеренная критическая сила будет находиться между притом ближе к . Для реальных материалов критические напряжения, определенные по приведенному и по касательному модулю, отличаются друг от друга мало, как это видно из графика на рис. 216. В то же время расчет по касательному модулю дает нижнюю границу для критического напряжения, поэтому его и нужно рекомендовать.